r = f'(k)иw = f(k) - kf'(k), (1,14)

где r и w представляют собой соответственно конкурентную норму ренты и конкурентную величину заработной платы, выраженные в единицах продукта. Более того, r и w оказываются при этом оптимальными «теневыми» ставками ренты и заработной платы. Взаимозависимость капиталовооруженности и вознаграждения владельцев факторов может быть охарактеризована с помощью кривых, приведенных на рис. 1.3. Здесь показан случай уменьшающейся эффективности при расширении масштабов производства, вторая производная f''(k) отрицательна на протяжении всего рассматриваемого интервала. Касательная к кривой, которая характеризует производственную функцию, выраженную показателем производительности труда (другими словами, производственную функцию, рассчитываемую как объем выпускаемой продукции на одного занятого, f(k)) образует положительный угол α с осью абсцисс. Тангенс угла α равен f(k)/(k+w) = f'(k). Отрезок w также равен соотношению между заработной платой и рентой, поскольку w/r = (f(k) - kf'(k))/f'(k).

Существование таких производных не может считаться обязательным условием для определения цен на факторы производства. На рис. 1.3 б при 0 < k < k* предельный продукт капитала равен α1, вследствие того что касательная к кривой производственной функции проходит через начало координат, предельный продукт труда оказывается равным нулю. При k > k*, МРk = α2 и МРL = f(k) - α2k. Для k = k* предельные продукты определены, но такое определение неоднозначно,

α2 ≤ MPk ≤ α1 и МРL = f(k*) - k*MPk. (1,15)

В случае гладкой, строго выпуклой вверх функции, вторая изображена на рис. 1.3а, где f''(k)<0, можно видеть, что между, что между k и w существует однозначная зависимость, причем dw/dk > 0.

Экономические законы динамики

Будем полагать, что темпы расширения численности рабочей силы остаются постоянными, иначе говоря %ΔL = n > 0, где n представляет собой естественный (так сказать, биологический) темп роста. В условиях, когда время предполагается непрерывным, этот процесс может быть описан простым дифференциальным уравнением (dL/dt) = nL', если для обозначения дифференцирования по времени мы воспользуемся точками, это соотношение можно переписать следующим образом:

(1,16)

Инвестиции определяются как приращение запаса капитала; если абстрагироваться для простоты изложения от амортизации, то , где Z - чистые или полностью совпадающие с ними в нашем примере валовые инвестиции. Прирост капиталовооруженности, выраженный в процентах, совпадает с темпами увеличения капитала (за вычетом процента увеличения численности рабочей силы), или

(1,17)

Уравнение роста может быть также выведено на основе логарифмического дифференцирования тождества k = K/L оно может быть записано следующим образом:

(1,18)

где z = f(k) представляет собой среднюю величину инвестиции, приходящуюся на одного занятого.

Равновесные состояния

На рис. 1.4 выпуск продукции в расчете на одного занятого, f(k), представлен в форме строго выпуклой функции. На этом же рисунке проведен луч nk. Предполагается, что значения производственной функции, которая выражена через объем производства, приходящийся на единицу труда, при небольшой (ненулевой) капиталовооруженности расположены выше, а при очень большой капиталовооруженности -ниже указанного луча. В силу того, что , при данной капиталовооруженности разница между кривой, описывающей производственную функцию, и лучом характеризует размеры «излишнего» продукта, пригодного для потребления или увеличения капиталовооруженности. Точка пересечения луча и кривой описывает максимально устойчивое соотношение между капиталом и трудом, . Для значений, отличных от , даже в условиях, когда весь продукт сберегается и инвестируется, средние инвестиции, рассчитываемые на одного занятого, будут меньше, чем это необходимо для поддержания постоянной капиталовооруженности при растущей численности населения.

Стационарное состояние (или путь сбалансированного роста) характеризуется траекторией, вдоль которой темпы увеличения капитала и труда оказываются одними и теми же, т. е. траекторией, для которой соблюдается условие , или = 0. Из рис. 1.4 можно видеть, что существует ряд возможных соотношений между капиталом и трудом, характеризующих устойчивое состояние при 0 ≤ k ≤ .

Золотые правила накопления

В чем же заключаются различия между этими устойчивыми состояниями? Напомним, что с = f(k) - nk -.

В устойчивых состояниях = 0, поэтому мы можем выразить стационарные размеры потребления в расчете на одного занятого при устойчивом состоянии сS как функцию от величины капитала, приходящегося на одного занятого:

сS(k) = f (k) - nk. (1,19)

На рис. 1.5 приведен график кривой сS(k).

В исходной точке функция равна нулю; по мере увеличения капиталовооруженности она растет, достигая максимума в точке k*, а затем уменьшается и снова обращается в нуль в точке . Эти свойства можно проследить на рис. 1.5 или непосредственно вывести их, так как dcS/f(k)-n и d2cS/dk2 = f'(k) < 0. Следовательно, сS достигает максимума при отношении «капитал/труд», равном k*, когда предельный продукт капитала (или, как станет ясно позже, норма процента) оказывается равным «естественному» темпу роста населения. Величину k* чаще всего называют «золотым уровнем капиталовооруженности», определяемым «золотым правилом» накопления (Golden Rule, GR), которое было исследовано рядом экономистов; сошлемся, в частности, на работы Эдмунда С. Фелпса и Джоан Робинсон. Заметим, что, поскольку f(k*) = n, k*f'(k*) = nk* = z*. Это означает, что, если при соблюдении «золотого правила» накопления факторы вознаграждаются по их предельным продуктам (как это происходит в условиях конкурентной экономики), инвестиции в точности равны совокупному рентному доходу. (Конечно, такой характер потребление принимает лишь в мире, в котором «капиталисты все без остатка сберегают, а рабочие все без остатка потребляют».)