Итак, предполагается, что в момент t производится поток однородной продукции, Y(t); при этом имеет место взаимодействие двух факторов - используемого в данный момент парка машин (или капитала), К(t) , и занятой на тот же момент рабочей силы, L(t). Будем полагать, что технологически эффективная комбинация «затраты – выпуск» описывается производственной функцией F(·), так что Y(t) = F( К(t), L (t), t). Чтобы еще более упростить рассматриваемый пример, исключим технологические изменения, т. е. положим ∂F/∂t ≡ 0, тогда указанное соотношение межу затратами и выпуском может быть переписано в следующем виде:

Y (t) = F ( К(t), L(t)). (1,12)

Что же представляет собой однородный продукт Y? На этот вопрос часто дают такой ответ: однородным называется продукт, который может быть с одинаковым успехом использован как для потребления, так и для инвестирования. В частности, если С(t) представляет собой потребление в момент t, a Z(t) - инвестиции в момент t, то можно записать следующее неравенство: С(t)+Z(t) ≤ Y(t) . В такой трактовке Y иногда представляется в виде какого-то придуманного товара, нечто вроде «пузанчиков» (shmoos) - героев карикатур комиксов Эла Каппа. В действительности Y служит в наших рассуждениях лишь «вспомогательной переменной» и при анализе односекторной технологии ее можно легко опустить. Технологические возможности могут быть описаны рядом различных сочетаний выпусков и затрат, осуществимых в пределах данной технологии, Т; последнюю будем задавать следующим выражением:

Т = {(С, Z, К, L) : С ≥ О, Z ≥ 0, К ≥ О, L ≥ О, С+Z ≤ F(К, L)}. (1,13)

Зависимость технологии от времени здесь (а также в последующем изложении) в явном виде не указывается. Приведенное выше выражение следует читать таким образом: осуществимый производственный план представляет собой сочетание неотрицательных выпусков и затрат, (С, Z, К, L) ≥ 0, удовлетворяющих следующему соотношению, складывающемуся в производстве: С + Z ≤ F (К, L). Следовательно, если предположить, что затраты К и L фиксированы, потребительские и инвестиционные товары могут замещать друг друга при движении вдоль технологически эффективной границы производственных возможностей.

Рассмотрим рис. 1.2, на котором отрезок прямой, очерченный жирной линией, обозначает границу производственных возможностей, или PPF (production possibility frontier). Важной характеристикой модели служит постоянное равенство между ценой предложения потребления и ценой предложения инвестиций (на нашем рисунке отрезок прямой PPF на всем своем протяжении имеет наклон, равный -1). Если же такое равенство рыночных цен (а при иных предположениях цен «общественного спроса» - social demand prices) на потребление и инвестиции не соблюдается, то структура выпуска продукции будет полностью определяться товаром, имеющим более высокую цену.

Рассмотрение этого, как нетрудно убедиться, очень частного случая технологии лежит в основе многих макроэкономических моделей, в том числе в основе интерпретации Джоном Р. Хиксом «кейнсианской системы» - интерпретации, использующей кривые IS - LM.

Нужно отметить, что решающей чертой рассматриваемой модели служит не то обстоятельство, что абсолютная величина наклона PPF равна единице, а то, что угол наклона остается постоянным. И в тех случаях, когда угол наклона равен любой другой постоянной величине, простейшая замена переменных позволяет вернуться в аналогичный «односекторный мир».

Предположение о неизменной эффективности при изменении масштабов производства определяет следующее обстоятельство: производственная функция является положительно однородной первой степени относительно своих аргументов; другими словами, для каждой положительной скалярной величины Θ при Y = F (К, L) будет соблюдаться равенство ΘУ = F (ΘK, ΘL). Например, удвоение каждого вида затрат при сохранении прежней эффективности технологии обеспечивает увеличение размеров выпуска в два раза. Отсюда напрашивается обобщение, позволяющее распространить наш анализ также на случай уменьшающейся эффективности расширения масштабов производства. Это всегда можно сделать, введя условные переменные, характеризующие некие дополнительные факторы производства («предпринимательская деятельность»), или приняв во внимание существование реальных факторов производства, запас которых ограничен (например, природные ресурсы)[12]. При уменьшающейся эффективности могут отсутствовать равновесные состояния системы, а в тех случаях, когда они существуют, их изучение может не представлять особого интереса. Но отсутствие равновесных состояний не должно здесь служить помехой серьезному анализу. Гораздо более трудные проблемы возникают в тех случаях, когда предполагается возрастающая эффективность при изменении масштабов производства. Анализ оптимальных планов централизованного развития в случаях растущей эффективности производства оказывается намного сложней, но это вовсе не означает, что подобный анализ вообще невозможен. Особенно важно отметить в связи с этим, что при постоянно растущей эффективности по мере увеличения масштабов производства конкуренция, как правило, перестает быть определяющим фактором хозяйственного развития, вследствие чего в большинстве случаев приходится отказываться от предпосылки, предполагающей функционирование рыночной структуры - структуры, которая больше других понятна экономистам.

Прибегнем к следующей замене переменных: Θ = 1/L; тогда в силу предположения о том, что эффективность при изменении масштабов производства остается неизменной, можно записать: Y/L == F (K/L, L/L). Обозначим теми же прописными буквами средний размер рассматриваемых величин в расчете на одного занятого, например У = Y/L. Перепишем теперь приведенное выше выражение следующим образом:

y=F(k,1)=f(k).

Продукция на одного занятого является функцией капиталовооруженности, и только капиталовооруженности труда, что отражает глубинные соотношения, складывающиеся в тех случаях, когда при изменении масштабов производства эффективность остается неизменной.

Непрерывная производственная функция

Когда производственная функция непрерывна и дифференцируема, можно выразить предельные продукты через соответствующие производные. Тогда предельный продукт капитала характеризуется величиной ∂Y/∂К = f'(k). Предельный продукт труда равен ∂Y/∂L = f(k) - kf'(k). К этому и сводится основная теорема в теории двойственности (duality theory); в соответствии с этой теоремой в условиях экономики, не ставящей своей целью извлечение прибыли, величины предельных продуктов характеризуют степень редкости соответствующего фактора с общественной точки зрения. Известно также, что в условиях конкурентной (максимизирующей прибыль) экономики при отсутствии внешних эффектов (externalities) владельцы факторов производства вознаграждаются в соответствии с величиной предельных продуктов этих факторов, следовательно,