(С, Z, К, L) принадлежит Т и = Z, (1,28)

где технология представляет собой набор неотрицательных осуществимых сочетаний затрат и выпускаемой продукции. Положим, что Т представляет собой замкнутый выпуклый конус, иначе говоря, технология характеризуется постоянной эффективностью при изменении масштабов производства и уменьшающимися нормами замещения.

Пусть р(t) характеризует цену текущего потребления в момент t. Будем использовать цену потребления в исходный момент в качестве масштаба цен (numeraire), р(0) = 1. Допустим, что q(t) = (q1(t), ., qm(t)) представляет собой вектор текущих цен инвестиционных товаров в момент t.

Если производственный план (С, Z, К, L) эффективен, то в каждый данный момент существуют такие цены выпуска (р, q), которые при использовании существующего запаса факторов производства (К, L) позволяют максимизировать размеры чистого национального продукта NNP. В таком случае максимизируемый NNP может быть записан в виде функции цен на выпускаемую продукцию и запасов факторов производства:

(1,29)

Статические технологические возможности производства полностью описываются свойствами функции Н. В силу отмеченных выше характеристик цен Н выпукла, линейно это однородная функция по переменным (р, q). Предположение о том, что Т представляет собой выпуклый конус, равносильно посылке, согласно которой Н вогнуто и однородно первой степени относительно переменных (К, L).

Частная производная (или обобщенный градиент) Н по р равна С, ∂H/∂р = С. Подобным же образом ∂H/∂qi = Zi; при i = 1, .,m. Частная производная Н по Ki является приведенной к настоящему моменту (дисконтированной) стоимостью нормы рентных платежей, обеспечиваемых i-м капитальным товаром ∂Н/∂Кi = ri, i = =1, .,m, тогда как ∂H/∂L = w (последняя величина представляет собой дисконтированную стоимость ставки заработной платы). Тогда r - это вектор текущих норм рентных платежей, обеспечиваемых капитальными товарами, а р (t), q (t), r (t) и w (t) представляют собой текущие цены, причем все они выражены через начальное (или текущее) потребление, р(0) = 1.

Как и раньше, норма процента . В условиях конкуренции прибыль, которую приносит владение каким-либо активом, выраженная в единицах начального потребления, равна нулю. Прибыль, которую обеспечивает собственность на одну единицу i-го капитального блага в течение короткого периода времени [t, (t+Δt)], примерно равна qi(t+Δt) - qi(t) + ri(t)iΔt, где ri(t) представляет собой «среднюю» норму арендной платы для этого короткого периода. Разделим это вырадение на Δt и рассмотрим его предельное значение при Δt ≥ 0; тогда, введя условие нулевой прибыли, можно записать следующее соотношение:

(1,30)

Для каждого капитального блага сумма доходов от прироста рыночной стоимости этого вида имущества и арендной платы, выраженной через начальное потребление, равна нулю. Если владельцы активов наделены даром совершенного краткосрочного предвидения, то такие уравнения будут обеспечивать равенство спроса и предложения на рынках капитального имущества. Указанные дифференциальные уравнения служат также условиями эффективного использования ресурсов: эффективному «межвременному плану» должны соответствовать цены (р (t), q (t}, r (f), w (t)), которые обладают описанными выше свойствами.

Положим, что процентные «премиальные надбавки» в области потребления (или в сфере «полезности») равны нулю. Тогда, поскольку и р(0) = 1, р(t) = 1 для всех t. Допустим также, что численность рабочей силы не увеличивается, тогда мы можем перейти к рассмотрению NNP в расчете па душу населения Н (р(t), k(t)) ≡ Н (1, q(t), К(t)/L(t), 1). Траектории конкурентного (и эффективного) роста должны удовлетворять следующим условиям:

(1,31)

и

(1,32)

Из первого уравнения следует, что = z, из второго - что + r = 0. Подобная система дифференциальных уравнений известна математикам и физикам под названием системы Гамильтона. Гамильтонова функция Н полностью описывает статичную технологию.

В случаях, когда ρ = 0, складываются условия оптимального (в соответствии с определением, содержавшимся в задаче Рамсея) роста при более широком выборе технологических возможностей. Решение этих дифференциальных уравнений, характеризующих равновесные состояния, позволяет получить вектор соотношений между капиталом и трудом, определяемых «золотым правилом» накопления. Обеспечивает ли такой вектор k*, определяемый «золотым правилом», стабильное или нестабильное равновесие, зависит от технологии. В частности, если H строго выпукла по q и строго вогнута по k, то при соблюдении граничных условий равновесие системы окажется глобально стабильным.

Заметим: для того чтобы модель носила замкнутый характер, используется «условие спроса», которое определяет норму процента. Для того чтобы обеспечить стабильное равновесие в рамках более общей системы по мере увеличения нормы процента ρ, должны предъявляться все более жесткие требования к форме (более конкретно, на k выпуклости или вогнутости), соответствующей функции Гамильтона.

Итак, в настоящее время неоклассическая теория имеет в своем распоряжении развитый «инструментарий», позволяющий исследовать в самых общих теоретических построениях (general setting) условия глобальной стабильности. При этом следует еще раз подчеркнуть: вопрос о стабильности, конечно, представляет собой интересный аспект экономических моделей, и все же стабильность никак не может считаться главным свойством таких моделей.

Неоднородный капитал и накопление различных видов активов

Модели с неоднородным капиталом во многом отличаются от моделей с однородным капиталом, в этом разделе мы рассмотрим лишь две особенности моделей, включающих неоднородный капитал. Одна из них, связанная с проблемой «переключения» технологии (reswitching of techniques), вызвала особый интерес и изучалась многими авторами, хотя, на мой взгляд, эта проблема не столь уж важна с точки зрения общего содержания «межвременной» экономической теории. Другой вопрос касается оценки активов в предпринимательской экономике. Процессы оценки активов на основе конкуренции, по-моему, в какой-то мере обойдены вниманием экономистов, хотя, как мне представляется, они-то и заслуживают самого серьезного исследования, поскольку они оказываются в центре многих проблем, с которыми сталкивается «межвременная» экономическая теория.