= -2l2-l+1 -11l -2l4-4 -6 -l+5 -11l+6 ,

3 5 l+ 1 2 3l+1 5l+2

Q(l) = А0В0-1l + А0(1)В0-1 = 2 5 -2 -2 = 2l-2 5l-2 .

§2. Скалярная эквивалентность.

Как уже отмечалось две λ-матрицы А(λ), В(λ) эквивалентны тогда и только тогда, если существуют λ-матрицы U(λ), V(λ) с не зависящими от λ ненулевыми определителями, удовлетворяющие соотношению

А(λ) = U(λ) В(λ)V(λ). (17)

Условимся говорить, что матрица А(λ) скалярно эквивалентна матрице В(λ), если существуют неособенные матрицы U,V с независящими от λ элементами, удовлетворяющие соотношению (17). Матрицы с независящими от λ элементами будем называть скалярными.

Т е о р е м а 2. Если λ-многочлены первой степени Аλ+В, Сλ+D регулярны и эквивалентны , то они и скалярно эквивалентны.

По условию

Аλ+В = U(λ) (Сλ+D) V(λ), (18)

где U(λ), V(λ) - матрицы с отличными от нуля постоянными определителями. Обозначим через P, S левые частное и остаток от деления U(λ) на Аλ+В, а через Q, R - правые частное и остаток от деления V(λ) на Аλ+В. Следовательно,

U = (Аλ+В) P + S, V = Q(Аλ+В) + R. (19)

Матрицы S и R скалярны, так как их степень меньше единицы. Покажем, что

Аλ+В = S(Сλ+D) R. (20)

Действительно, умножая обе стороны равенства (18) на U-1 и подставляя вместо V его выражение из (19), получим, перенеся члены

[U-1 - (Сλ+D)Q] (Аλ+В) = (Сλ+D)R.

Сравнивая степени левой и правой частей, видим, что выражение внутри квадратных скобок должно равняться некоторой скалярной матрице Т, и мы имеем

Т = U-1- (Сλ + D)Q, Т(Аλ+В) = (Сλ+D)R. (21)

Отсюда

Е = U(Сλ + D)Q + UТ = (Аλ+В)V-1Q + UТ = (Аλ+В)V-1Q + [(Аλ+В)Р + S]Т,

т.е.

Е = (Аλ+В)[V-1Q + РТ] + SТ.

Но правая часть может иметь нулевую степень только в случае обращения в нуль квадратной скобки, откуда

Е = SТ, Т = S-1.

Сравнивая с (21), получаем (20), где S, а значит и R - обратимые скалярные матрицы.

§3. Характеристический многочлен матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу А = ||аik||1n. Характеристической матрицей для матрицы А называется матрица λЕ-А.

λ - а11 -а12 … -а1n

λЕ-А = -а21 λ - а22 … -а2n

….…………………… .

-аn1 -аn2 … λ - аnn

Определитель характеристической матрицы

∆(λ) = |λЕ-А| = |λ δik - аik|1n

представляет собой скалярный многочлен относительно λ и называется характеристичным многочленом матрицы А.

Матрицу В(λ) = ||bik (λ)||1n , где bik (λ) - алгебраическое дополнение элемента λδik - аik в определителе ∆(λ), мы будем называть присоединенной матрицей для матрицы А.

Чтобы найти старшие члены характеристического многочлена, воспользуемся тем, что величина определителя равна сумме произведений его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца и снабженных надлежащими знаками. Поэтому, чтобы получить член, имеющий относительно λ наивысшую степень, необходимо взять произведения элементов наивысшей степени. В нашем случае таким произведением будет только одно- произведение диагональных элементов (λ - а11) (λ - а22) …(λ - аnn). Все остальные входящие в состав определителя произведения имеют степень не выше n-2, так как если один из множителей такого произведения будет - аik (i ≠ k), то это произведение не будет содержать множителями λ-аii, λ-акк и будет, следовательно, степени не более n-2. Таким образом, ∆(λ) = (λ - а11) … (λ - аm) + члены степени не выше n-2, или

∆(λ) = λn - (а11 + … + аnn) λn-1 + … (22)

Сумма диагональных элементов матрицы называется ее следом. Формула (22) показывает, что степень характеристического многочлена матрицы равна порядку этой матрицы, старший коэффициент характеристического многочлена равен 1, а коэффициент при λn-1 равен следу матрицы, взятому с обратным знаком.

Т е о р е м а 3. Характеристические многочлены подобных матриц равны друг другу.

Из этой теоремы вытекает, в частности, что подобные матрицы имеют одинаковые следы и определители, так как след и определитель матрицы, взятые с надлежащими знаками, являются коэффициентами ее характеристического многочлена.

Корни характеристического многочлена матрицы называются ее характеристическими числами или собственными значениями. Кратные корни характеристического многочлена называются кратными собственными значениями матрицы. Известно, что сумма всех вещественных и комплексных корней многочлена степени n, имеющего старший коэффициент 1, равна взятому с обратным знаком коэффициенту при (n-1)-й степени переменной. Формула (22) показывает поэтому, что в поле комплексных чисел сумма всех собственных значений матрицы равна ее следу.