1… 0 … 0 … 0

0 …1… f(λ)…0 i-я строка

В =

0… 0 … 1 … 0 j-я строка,

0 … 0 … 0 … 1

где все диагональные элементы равны единице, элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен f(λ), а остальные элементы равны нулю, то в результате к элементам i-й строки F прибавятся элементы ее j-й строки, умноженные на f(λ). Следовательно, каждое элементарное преобразование типа III равносильно умножению F слева на соответственную матрицу В.

Наконец, тем же способом легко убедиться, что элементарные преобразования матрицы F типа II, III столбцов равносильны умножению F на соответственные матрицы А, В справа.

Перейдем теперь к доказательству второго условия эквивалентности.

Необходимость. Пусть матрица G эквивалентна матрице F. Это означает, что G может быть получена из F цепочкой последовательных элементарных преобразований. Каждое элементарное преобразование мы можем заменить умножением на матрицу вида А или В соответственно слева или справа. В результате получим равенство

G = P1P2 … Pp FQ1Q2 … Qq, (5)

где каждая из матриц Pi , Qj имеет вид А или В (i, j = 1, 2, …).

Положим Р = P1P2 … Pp , Q = Q1Q2 … Qq.

Поскольку определители матриц В равны единице, а определители матриц А являются постоянными, отличными от нуля числами то определители матриц P и Q будут также постоянными, отличными от нуля числами. Соотношение (5) дает

G = PFQ,

и необходимость доказана.

Достаточность. Допустим обратно, что

G = PFQ, (6)

где P и Q - многочленные матрицы с постоянными, отличными от нуля определителями. Наибольший общий делитель Dn(λ) всех миноров порядка n матрицы Р равен определителю Р, деленному на его старший коэффициент. Так как этот определитель есть постоянное число, то Dn(λ)=1. Из соотношения (3) параграфа 3 при к=n получаем

Dn(λ) = d1(λ)d2(λ) … dn(λ) = 1,

откуда d1(λ) = d2(λ) = … = dn(λ) = 1,

где d1(λ), … dn(λ) - инвариантные множители матрицы Р. Но инвариантные множители единичной матрицы E также все равны единице, ибо Е имеет канонический диагональный вид. Согласно первому признаку эквивалентности отсюда следует, что матрица Р эквивалентна Е и, значит, может быть получена из Е цепочкой элементарных преобразований. Каждое элементарное преобразование можно заменить умножением на матрицу типа А или В. В результате Р будет представлена следующим образом:

Р = P1 … Pк Е Q1 … Qℓ = P1 … Pк Q1 … Qℓ

где Pi, Qj - матрицы типов А, В.

Применяя те же самые рассуждения к матрице Q, получим аналогичное разложение

Q = M1 … MsN1 …Nt.

Подставляя эти разложения в (6) придем к равенству

G = P1 … Pк Q1 … QℓFM1 … MsN1 …Nt, (7)

Из которого видно, что G получается последовательным умножением матрицы F на матрицы Pi, Qi , Mi, Ni типа А или В. Но каждое такое умножение равносильно некоторому элементарному преобразованию. Следовательно, G эквивалентна F, и доказательство закончено.

§5. Элементарные делители многочленной матрицы.

Рассмотрим произвольную λ-матрицу F, элементами которой являются многочлены от λ с коэффициентами из основного поля К. Обозначим через d1(λ), d2(λ), … , dn(λ) инвариантные множители матрицы F. Часть этих множителей может равняться нулю, поэтому предположим для определенности, что d1(λ), …, dr(λ) нулю не равны, а dr+1(λ)= …=dn(λ)= 0. Число r, есть ранг матрицы F. Разложим каждый из многочленов d1(λ), …, dr(λ) на множители, неприводимые в поле К. Пусть, например, di(λ) = [ε1(λ)]ⁿ№ [ε2(λ)]ⁿ² … [εk(λ)]ⁿk , где ε1(λ), …, εk(λ) -различные неприводимые многочлены со старшим коэффициентом 1. Выражения [ε1(λ)]ⁿ№, …, [εk(λ)]ⁿk ,называются элементарными делителями инвариантного множителя di(λ). Элементарные делители всех непостоянных инвариантных множителей матрицы F называются ее элементарными делителями. Например, если инвариантные множители матрицы F равны соответственно 1, λ, λ²(λ+1), λ²(λ+1)², то элементарные делители будут λ, λ², λ², λ+1, (λ+1)². Элементарный делитель вида [ε(λ)]k, где ε(λ) неприводимый многочлен, называют принадлежащим многочлену ε(λ). В рассмотренном примере элементарные делители λ, λ², λ²принадлежат λ, а λ+1 и (λ+1)І принадлежат λ+1.

Т е о р е м а 4. Порядок, ранг и система элементарных делителей λ-матрицы F вполне определяют ее инвариантные множители и, следовательно, определяют F с точностью до эквивалентности.

Доказательство легко уясняется из следующего примера. Пусть порядок F равен 6, ранг 4, элементарные делители λ, λ², λ², λ+1, (λ+1)³, λ-1, λ-1. Поскольку порядок F есть 6, то F имеет шесть инвариантных множителей d1(λ), …, d6(λ). Из них d5(λ) = d6(λ) = 0, так как ранг F должен быть 4. Если разложить d1(λ), …, d4(λ) на множители, то должны получиться указанные семь элементарных делителей. Поскольку, однако, d4(λ) делится на d3(λ), d2(λ) и d1(λ), то в d4(λ) входят элементарные делители, принадлежащие ко всем неприводимым многочленам, и притом в высших степенях. Поэтому d4(λ) = λ²(λ+1)³(λ-1). Среди оставшихся элементарных делителей λ, λ², λ+1, λ-1 высшие должны войти в d3(λ); следовательно, d3(λ) = λ²(λ+1)(λ-1). В свою очередь высшие из оставшихся должны составить d2(λ), т.е. d2(λ)=λ. Поскольку все элементарные делители уже распределены, то d1(λ)=1. Ясно, что этот способ применим в любом случае, что и доказывает теорему.

Элементарные делители зависят от основного поля К. Например, пусть инвариантные множители некоторой λ-матрицы F равны λ²+1, (λ²+1)². Если основное поле есть поле вещественных чисел, то многочлен λІ+1 неприводим и элементарными делителями матрицы F являются λІ+1 и (λІ+1)І. Однако, если основное поле - поле всех комплексных чисел, то λ²+1= (λ - i)(λ + i) и элементарными делителями F будут λ+i, (λ+i)І, λ-i, (λ-i)І.