Данная теорема утверждает, что каждый класс эквивалентных матриц содержит, по меньшей мере, одну матрицу, имеющую каноническую диагональную форму.

Пример

Найти каноническую форму и инвариантные множители l-матрицы

l l-1 l-1 l-2

l l3+l l-1 l3+l-1

А(l) = l+1 l3+l+2 l+1 l3+2l+3

l-1 l-3 l-3 -6

Третий столбец вычитаем из остальных:

1 0 l-1 -1

1 l3+1 l-1 l3

А(l) ~ 0 l3+1 l+1 l3+l+2 ~

2 0 l-3 -l-3

(из второй и четвертой строк вычитаем первую, умноженную соответственно на 1 и 2)

1 0 l-1 -1

~ 0 l3+1 0 l3+1 ~

0 l3+1 l+1 l3+l+2

0 0 -l-1 -l-1

(из III и IV столбцов вычитаем I, умноженный соответственно на l-1 и -1)

1 0 0 0

0 l3+1 0 l3+1

~ 0 l3+1 l+1 l3+l+2 ~

0 0 -l-1 -l-1

(II и III столбцы вычитаем из IV)

1 0 0 0

0 l3+1 0 0

~ 0 l3+1 l+1 0 ~

0 0 -l-1 0

(из III строки вычитаем II и полученную строку прибавляем к IV)

1 0 0 0

0 l3+1 0 0

~ 0 0 l+1 0 ~

0 0 0 0

(переставляем II и III строки, а также второй и третий столбцы)

1 0 0 0

0 l+1 0 0

~ 0 0 l3+1 0 .

0 0 0 0

Это каноническая матрица; значит матрица А(l) имеет инвариантные множители: Е1(l)=1, Е2(l)=l+1, Е3(l)=l3+1, Е4(l)=0.

§3. Наибольшие общие делители миноров

Пусть F - какая-нибудь λ-матрица порядка n. Составим ее всевозможные миноры порядка к (к = 1, 2, …, n). Эти миноры являются многочленами от λ. Обозначим их наибольший общий делитель через Dк(λ) (наибольшим общим делителем мы условимся называть общий делитель наивысшей степени со старшим коэффициентом 1. Поэтому все не равные нулю многочлены Dк(λ) имеют старший коэффициент 1). Если окажется, что все миноры к-го порядка равны нулю, то по определению будем считать Dк(λ)=0. В частности, D1(λ) есть наибольший общий делитель элементов матрицы F, а Dn(λ) равен определителю F, деленному на свой старший коэффициент.

Т е о р е м а 2. Эквивалентные λ-матрицы имеют один и тот же наибольший общий делитель миноров к-го порядка (к = 1, 2, …, n).

Доказательство. Пусть F1, F2 - две эквивалентные λ-матрицы. Обозначим наибольшие общие делители их миноров к-го порядка соответственно через Dк1(λ) и Dк2(λ). Требуется показать, что Dк1(λ) = Dк2(λ). Нам известно, что F2 можно получить из F1 цепочкой элементарных преобразований. Предположим сначала, что эта цепочка состоит только из одного элементарного преобразования. Пусть, например, F2 получается из F1 умножением всех элементов i-й строки матрицы F1 на число α≠0. Соответственные миноры F1 и F2 тогда либо совсем не отличаются друг от друга, либо отличаются лишь постоянным множителем α. Однако постоянный множитель не влияет на вычисление наибольшего общего делителя многочленов, поэтому Dк1 = Dк2. То же самое будет и в случае, когда F2 получается из F1 умножением на α элементов какого-либо столбца матрицы F1. Пусть теперь F2 получается из F1 одним из элементарных преобразований; например, пусть F2 возникает в результате прибавления к i-й строке матрицы F1 элементов j-й строки, умноженных на f(λ). Покажем, что Dк2 делится на Dк1.

В самом деле, миноры к-го порядка матриц F1, F2 можно разбить на три класса. К первому мы отнесем те из них, которые не содержат элементов i-й строки. Соответственные миноры матриц F1, F2 в этом случае, очевидно, равны друг другу. Ко второму классу отнесем те миноры, которые содержат элементы и i-й и j-й строк. Эти миноры у матриц F1, F2 будут снова равными, так как величина определителя не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются величины пропорциональные элементам какой-либо другой строки. Наконец, к третьему классу мы отнесем миноры, содержащие элементы i-й строки и не содержащие элементов j-й строки. Соответственные миноры этого класса имеют вид:

…………. …………………………………

м1 = f iυ1 … f iυk , м2 = f iυ1 + f jυ1 ∙ f(λ) . f iυk + f jυk ∙ f(λ) ,

…………. …………………………………

где невыписанные строки у обоих миноров одинаковы. На основании теоремы сложения определителей

…………… ………………

м2 = f iυ1 … f iυk + f(λ) f jυ1 ……… f jυk = м1 ± f(λ)N1 ,

…………… ……………….

где N1 - некоторый минор матрицы F1. Все миноры к-го порядка матрицы F1 делятся и на Dк1. Из наших рассуждений видно, что на Dк1 делятся и все миноры к-го порядка матрицы F2, так как они либо совпадают с соответственными минорами матрицы F1, либо выражаются через них линейно. Но в таком случае Dк1 войдет множителем в наибольший общий делитель миноров к-го порядка матрицы F2, т.е. войдет множителем в Dк2. Итак, если F2 получается из F1 одним элементарным преобразованием, то Dк2 делится на Dк1. Совершая над F2 обратное элементарное преобразование, мы получим F1. Поэтому, Dк1 также должен делиться на Dк2. Но если старшие коэффициенты двух многочленов равны и эти многочлены делятся без остатка друг на друга, то они совпадают. Таким образом, Dк1 = Dк2. Пока доказано равенство наибольших общих делителей в предположении, что F2 получается из F1 одним элементарным преобразованием. Однако если Dк(λ) не меняется при каждом отдельном элементарном преобразовании, то, очевидно, Dк(λ) не изменится и при нескольких последовательных преобразованиях. Потому теорема доказана в общем виде.