f (Вi) = f(ρi) … f(ni-2)(ρi)

…………………… . (6)

f(ρi)

Далее, если f(λ) определена в окрестности каждой точки ρ1, …, ρs и имеет в них конечные производные надлежащих порядков, то мы полагаем также

f(В) = f(В1) + f(В2) + … + f(Вt), (7)

f(А) = Тf(В)Т-1 = Т(f(В1) + … + f(Вt)) Т-1. (8)

Матрица f(А) называется значением функции f(λ) при λ=А. Ниже будет показано, что f(А) не зависит от способа приведения матрицы А к нормальной форме и, таким образом, является некоторой матричной функцией от А. Эта функция называется соответствующей числовой функции f(λ). Ясно, что далеко не все матричные функции имеют соответствующие числовые. Те из них, для которых соответствующие числовые функции существуют, называются скалярными функциями.

Отметим несколько простейших свойств скалярных функций:

1°. Если f(λ) есть многочлен от λ, то значение скалярной функции f(А) совпадает со значением многочлена f(λ) при λ=А.

Действительно, само определение скалярных функций выбрано таким образом, чтобы для многочленов оно совпадало со старым.

2°. Пусть А-матрица и f1(λ), f2(λ) - числовые функции, для которых выражения f1(A) и f2(А) имеют смысл. Если f(λ)= f1(λ) + f2(λ), то f(А) также имеет смысл и f(А)= f1(А) + f2(А).

3°. Если А-матрица, f1(λ) и f2(λ) - числовые функции для которых f1(А) и f2(А) имеют смысл, и f(λ)= f1(λ)f2(λ), то f(А) имеет смысл и f(А)= f1(А)f2(А).

Доказательства свойств 2° и 3° аналогичны, поэтому мы ограничимся рассмотрением свойства 3°. Чтобы вычислить f1(А), f2(А), f(А), мы согласно определению, должны привести А к нормальной форме Жордана В и воспользоваться формулами (7) и (8). Если удастся показать, что f(В)= f1(В)f2(В), то из (8) непосредственно получится f(А)= f1(А) f2(А). С другой стороны,

f(В)= f(В1) + f(В2) + … + f(Вt),

f1(В)f2(В) = f1(В1) f2(В2) + … + f1(Вt) f2(Вt) ,

поэтому все дело сводится к доказательству равенств

f(Вi) = f1(Вi) f2(Вi) (i=1, 2, …, t),

где Вi - клетки Жордана. Беря значения f1(Вi), f2(Вi) из формулы (6) и перемножая, мы обнаружим, что в к-й строке и (k+j)-м столбце матрицы f1(Вi) f2(Вi) будет стоять элемент, равный

f1(ρ) · f2(j)(ρ) + fґ1(ρ) · f2(j-1)(ρ) + … + f1(j)(ρ) · f2(ρ).

Это выражение можно переписать в виде

[f1(ρ) f2 (j)(ρ) + fґ1(ρ) f2 (i-1)(ρ) + … + f1(j)(ρ) · f2(ρ)],

что согласно правилу дифференцирования произведения функций совпадает с f (j)(ρ). Таким образом,

f1(Вi) f2(Вi) = f(Вi),

и утверждение 3° доказано.

Аналогичным образом, используя правило дифференцирования функции от функции, можно было бы показать, что если числовые функции φ(λ) и f(φ(λ)) удовлетворяют требованиям, при которых выражение f(φ(λ)) определено, и если ψ(λ)= f(φ(λ)), то ψ(А)= f(φ(А)).

4˚. Пусть А-матрица, имеющая собственные значения ρ1, ρ2, …, ρn, причем каждое собственное значение выписано здесь столько раз, какова его кратность. Если f(λ) - числовая функция и f(А) имеет смысл, то собственные значения матрицы f(А) равны f(ρ1), f(ρ2), …, f(ρn).

В самом деле, собственные значения матриц f(А) и Т-1f(А)Т=f(Т-1АТ) соответственно равны, поэтому мы можем предполагать, что А имеет нормальную форму Жордана. Формулы (5) и (6) показывают, что в этом случае f(А) имеет треугольную форму, причем по главной диагонали f(А) стоят числа f(ρ1), f(ρ2), …, f(ρn). Поскольку диагональные элементы треугольной матрицы являются ее собственными значениями, то утверждение 4˚ доказано.

Рассмотрим два примера. 1) Пусть f(λ)= λ-1. Эта функция определена всюду, кроме λ=0, и при всех значениях λ, отличных от нуля, имеет производные любых порядков. Следовательно, если матрица А не имеет нулевых собственных значений, т.е. если А неособенная, то f(А) имеет смысл. Но λ · f(λ)=1, поэтому А · f(А)=Е, откуда f(А)= А-1. Таким образом, функции λ-1 отвечает обратная матрица.

2) Пусть f(λ)=√λ. Эта функция при λ≠0 имеет конечные производные любых порядков. Таким образом, выражения √А имеет смысл для всех неособенных матриц А. Полагая в соотношении

f(λ)f(λ) =λ

λ=А, мы получим

f(А)f(А) =А.

Мы доказали, следовательно, что из всякой неособенной матрицы можно извлечь квадратный корень.

Пример.

Найти Аn, если

1 4 2

А = 0 -3 -2

0 4 3 .

Найдем А2

1 4 2 × 1 4 2 = 1 0 0 = Е