А2 = А × А = 0 -3 -2 0 -3 -2 0 1 0

0 4 3 0 4 3 0 0 1

Итак, Аn = Е, если n=2к и Аn = А, если n=2к+1.

§3. Представление значений функций многочленами

Во всех курсах высшей алгебры рассматривается задача, как по заданной системе различных чисел ρ1, ρ2, …, ρs и произвольной системе чисел a1, a2, …, as построить многочлен f(λ), который в точках ρ1, ρ2, …, ρs принимает соответственные значения α1, α2,…,αs . Решение дается в виде известного интерполяционного многочлена Лагранжа.

Для дальнейшего важно уметь строить многочлены, которые не только сами, но и их производные до некоторого порядка принимают заданные значения в точках ρ1, ρ2, …, ρs. Эта задача является, таким образом, непосредственным обобщением предшествующей. Утверждение о ее разрешимости сформулируем в виде отдельной леммы.

Лемма. Пусть заданы различные числа ρ1, ρ2, …, ρs и таблица из (к+1) s произвольных чисел αij. Найдется многочлен р(λ), который в каждой точке ρi имеет значение αi0, а его j-я производная - значение αij (=1, , …, s; j= 1, …, к).

Сначала удобнее построить вспомогательный многочлен рi(λ) такой, что он и его производные до к-го порядка имеют требуемые значения лишь в точке ρi, а в остальных заданных точках обращаются в нуль. Положим

φi(λ)= βi0 + βi1 (λ - ρi) + …+ βik(λ - ρi)k,

Φi(λ) = (λ - ρ1)k+1… (λ - ρi-1)k+1(λ - ρi+1)k+1… (λ - ρs)k+1 ,

рi(λ) = φi(λ) Φi(λ),

где βi0, βi1, … , βik - некоторые пока не определенные числа.

Очевидно, при любых βi0 , …, βik имеем

рi(ρj) = рi(ρj) = … = рi (k)(ρj) = 0 (j≠i).

Согласно правилу дифференцирования произведения

рi(j) = φi(j)(ρi) Фi(ρi) + jφ i(j-1)(ρi) Фi (ρi) + … + φi(ρi)Фi (j)(ρi)

или

aij = j ! βij Фi(ρi) + j ! βij-1Фi(ρi) + … + βi 0Фi(j)(ρi). (9)

Так как Фi(ρi)≠0, то из соотношений (9) при j=0, 1, …, k можно последовательно определить числа βi0, βi1, … , βiк и тем самым найти рi(λ). Многочлен

р(λ) = р1(λ) + р2(λ) + … + рs(λ)

будет, очевидно, удовелтворять всем требованиям леммы.

Рассмотрим некоторую числовую функцию f(λ) и матрицу А, для которой значение f(А) определено. Покажем, что тогда найдется многочлен р(λ), для которого р(А), будет равно f(А). Обозначим через ρ1, ρ2, …, ρs различные собственные значения матрицы А. Пусть ее порядок есть n. Согласно только что доказанной лемме мы можем построить многочлен р(λ), удовлетворяющий требованиям

р(ρi) = f(ρi), р΄(ρi) = f΄(ρi), …, р (n-1)(ρi) = f(n-1)(ρi) (10)

(i= 1, …, s).

Для определения смысла выражения f(А) нам нужны были только значения функции f(λ) и ее производных самое большее до (n-1)-й в точках ρ1, ρ2, …, ρs . Поскольку эти значения у f(λ) и р(λ) совпадают, то f(А)=р(А). Итак:

Т е о р е м а 1. Значения всех cкалярных функций от матрицы А можно представить многочленами от А.

В частности, рассматривая функцию f(λ)=√λ, мы видим, что для каждой неособенной матрицы А существует такой многочлен р(λ), для которого

р(А)р(А) = А.

С помощью теоремы 1 легко решается вопрос об однозначиности определения значения f(А). В самом деле, зная функцию f(λ) и ее производные в точках ρ1, …, ρs, мы можем построить многочлен р(λ), значение которого р(А) не зависит от приведения матрицы А к нормальной форме Жордана и в то же время совпадает с f(А). Следовательно, значение f(А), определенное с помощью приведения матрицы А к нормальной форме, от способа этого приведения не зависит.

Сделаем еще одно замечание. Пусть f(λ) - некоторая числовая функция, А - матрица, для которой f(А) имеет смысл. Согласно теореме 1 мы можем найти многочлен р(λ), для которого р(А)=f(А). При заданной функции f(λ) многочлен р(λ) зависит лишь от элементарных делителей матрицы А. Но элементарные делители матрицы А и транспонированной матрицы А΄ совпадают, поэтому р(А΄)=f(А΄). Легко усмотреть, что р(А΄)=р(А)΄. Таким образом, для всех скалярных функций f(А) имеем f(А)=f(А)΄.

§4. Элементарные делители функций

Рассмотрим вопрос, как по элементарным делителям матрицы А найти элементарные делители какой-нибудь ее скалярной функции f(А). Приведем А к нормальной форме

Т-1АТ = В = В1 + В2 + … Вt, (11)

где В1, … ,Вt, - клетки Жордана. Согласно определению

f(А) = Т f(В) Т-1,

и, следовательно, элементарные делители матриц f(А) и f(В) совпадают. Из (11) вытекает, что

f(В) = f(В1) + f(В2) + … + f(Вt);

поэтому система элементарных делителей матрицы f(В) есть объединение систем элементарных делителей клеток f(В1), …, f(Вt). Таким образом, наш первоначальный вопрос сводится к следующему: дана клетка Жордана Вi с элементарным делителем (λ-ρi)ni требуется найти элементарные делители для f(Вi).

На основании формул (5), (6) имеем

λ - f(ρi) - f΄(ρi) … - f(ni-1) (ρi)

λЕi-f(Bi) = λ-f(ρi) … - f(ni-2) (ρi)

………………………… . (12)

λ - f(ρi)

Ищем наибольшие общие делители D1(l), D2(l), ., Dni(l) миноров 1-го, 2-го, ., ni-го порядков этой матрицы. Старший из них Dni(l) равен определителю матрицы, следовательно,

Dni(l) = (l-f(ri))ni .

Все остальные являются делителями Dni(l) и поэтому имеют вид (l-f(ri))α. Рассмотрим Dni-1(l). Этот многочлен должен быть делителем всех миноров порядка ni-1 матрицы (12), в том числе и минора D(l), получающегося вычеркиванием первого столбца и последней строки. Однако если в этот минор подставить вместо l число f(ri), то получится матрица треугольной формы с элементами - f¢(rj) на главной диагонали и, значит,

D(ri) = (-f¢(ri))ni-1 . (13)

Мы предположим теперь, что f¢(ri)¹0. Равенство (13) показывает тогда, что D(l) не делится на l- f(ri). Но многочлен Dni-1(l) должен быть общим делителем многочленов D(l) и Dni(l), следовательно, Dni-1(l)=1. Остальные многочлены Dni-2(l), ., D2(l),D1(l) являются делителями Dni-1(l) и поэтому также равны единице. Составляя отношения Dк+1 : Dк, мы видим, что инвариантными множителями матрицы (12) будут 1, . , 1, (l-f(ri))ni , вследствие чего матрица (12) будет иметь только один элементарный делитель (l-f(ri))ni. Отсюда следует

Т е о р е м а 2. Пусть матрица А имеет собственные значения r1, ., rs и f(l) - функция, для которой f¢(ri)¹0 (i=1, ., s). Тогда, если матрица f(А) существует, то ее элементарные делители можно получить заменой каждого элементарного делителя (l-ri)ni матрицы А выражением (l-f(ri))ni .