Т' = с (i), Т" = 1………….(i), Т"' = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0……….(j) .

0 1 0 1 0 1

В результате применения правой элементарной операции матрица А(λ) умножается справа на соответствующую матрицу Т.

Заметим, что матрица Т' совпадает с матрицей S', а матрицы Т", Т"' совпадают с матрицами S", S"', если в последних поменять местами индексы i и j. Матрицы типа S', S", S"' (или, что то же, типа Т', Т", Т"') называются элементарными.

Две λ-матрицы А(λ) и B(λ) одинаковых размеров m x n называются эквивалентными, А(λ) ~ B(λ), если от матрицы А(λ) к B(λ) можно перейти при помощи цепочки из конечного числа элементарных преобразований. Отношение эквивалентности обладает тремя основными свойствами:

1) рефлексивность: каждая матрица эквивалентна сама себе А(λ) ~ B(λ);

2) симметрия: если А(λ) ~ B(λ), то B(λ) ~ А(λ);

3) транзитивность: если А(λ) ~ B(λ), и B(λ) ~ С(λ), то А(λ) ~ С(λ).

§2. Канонический вид λ-матрицы

Выше было показано, что отношение эквивалентности транзитивно, симметрично и рефлексивно. Отсюда следует, что совокупность всех λ-матриц данных размеров m x n разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц, т.е. на такие классы, что любые две матрицы из одного класса эквивалентны, а из разных классов - не эквивалентны между собой. Возникает вопрос о канонической форме λ-матрицы, характеризующей данный класс эквивалентных λ-матриц.

Канонической диагональной λ-матрицей размеров m x n называется λ-матрица, у которой на главной диагонали стоят многочлены Е1(λ), Е2(λ), …, Ер(λ), где р - меньшее из чисел m и n, причем не равные нулю среди этих многочленов имеют старшие коэффициенты, равные единице, и каждый следующий многочлен делится на предыдущий, все же элементы вне главной диагонали равны нулю.

Т е о р е м а 1. Всякая λ-матрица конечным числом элементарных преобразований может быть приведена к канонической диагональной форме.

Доказательство. Пусть А(λ) - прямоугольная многочленная матрица. Применяя к А(λ) как левые, так и правые элементарные операции приведем к канонической диагональной форме.

Среди всех не равных нулю элементов аіј(λ) матрицы А(λ) возьмем тот элемент, который имеет наименьшую степень относительно λ, и путем соответствующей перестановки строк и столбцов сделаем его элементом а11(λ). После этого найдем частные и остатки от деления многочленов аі1(λ) и а1ј(λ) на а11(λ):

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).

Если хотя бы один из остатков rі1(λ), r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), например r1ј (λ), не равен тождественно нулю, то, вычитая из j-го столбца первый столбец, предварительно помноженный на q1ј(λ), мы заменим элемент а1ј(λ) остатком r1ј(λ), который имеет меньшую степень, нежели а11(λ). Тогда мы имеем возможность снова уменьшить степень элемента, стоящего в левом верхнем углу матрицы, поместив на это место элемент с наименьшей степенью относительно λ.

Если же все остатки r21(λ), … rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) равны тождественно нулю, то, вычитая из i-ой строки первую, помноженную предварительно на qі1(λ) (i = 2, …, m), а из j-го столбца - первый, предварительно помноженный на q1ј(λ) (j = 2, …, n), мы приведем нашу матрицу к виду

а11(λ) 0 … 0

0 а22(λ) … а2n(λ)

….…………………… .

0 аm2(λ) … аmn(λ)

Если при этом хотя бы один из элементов аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) не делится без остатка на а11(λ), то, прибавляя к первому столбцу тот столбец, который содержит этот элемент, мы придем к предыдущему случаю и, следовательно, снова сможем заменить элемент а11(λ) многочленом меньшей степени.

Поскольку первоначальный элемент а11(λ) имел определенную степень и процесс уменьшения этой степени не может неограниченно продолжаться, то после конечного числа элементарных операций мы должны получить матрицу вида

а1(λ) 0 … 0

(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) …bmn (λ)

в которой все элементы bіј(λ) делятся без остатка на а1(λ). Если среди этих элементов bіј(λ) имеются не равные тождественно нулю, то продолжая тот же процесс приведения для строк с номерами 2, …, m и столбцов с номерами 2, …, n, мы матрицу (*) приведем к виду

а1 (λ) 0 0 … 0

0 а2(λ) 0 … 0

0 0 с33(λ) … с3n(λ) ,

…………………………

0 0 сm3(λ) … сmn(λ)

где а2(λ) делится без остатка на а1(λ), а все многочлены сіј(λ) делятся без остатка на а2(λ). Продолжая этот процесс далее, мы в конце концов придем к матрице вида

а1(λ) 0 … 0 0 … 0

0 а2(λ)… 0 0 … 0

… …………………

0 0 …аs(λ) 0 … 0 ,

0 0 … 0 0 … 0

………………………

0 0 … 0 0 … 0

где многочлены а1(λ), а2(λ), …, аs(λ) (s ≤ m, n) не равны тождественно нулю и каждый из них делится на предыдущий без остатка.

Помножая первые s строк на соответствующие отличные от нуля числовые множители, мы сможем добиться того, чтобы старшие коэффициенты многочленов а1(λ), а2(λ), …, аs(λ) были равны единице.

Таким образом мы доказали, что произвольная прямоугольная многочленная матрица А(λ) эквивалентна некоторой канонической диагональной.