Чтобы получить элементарные делители λ-матрицы, имеющей каноническую диагональную форму, достаточно взять, согласно определению, все элементарные делители ее диагональных элементов. Это же правило имеет место и для произвольной диагональной λ-матрицы.

Лемма. Система элементарных делителей произвольной диагональной λ-матрицы F есть объединение элементарных делителей ее диагональных элементов.

Примеры:

1) Найдем элементарные делители l-матрицы

1 0 0 0

0 l2+2 0 0

А(l) = 0 0 (l4-4)2 0

0 0 0 0

над полями рациональных, действительных и комплексных чисел. Матрица А(l) имеет каноническую форму. Поэтому на ее главной диагонали стоят инвариантные множители Е1(l)=1, Е2(l)=l2+2, Е3(l)=(l4-4)2, Е4(l)=0.

Разлагая Е2(l) и Е3(l) на неприводимые множители над каждым из указанных полей, получим системы элементарных делителей:

1. над полем рациональных чисел:

е1(l)=l2+2, е2(l)=(l2+2)2, е3(l)=(l2-2)2 ;

2. над полем действительных чисел:

е1(l)=l2+2, е2(l)=(l2+2)2, е3(l)=(l+Ö2)2, е4(l)=(l-Ö2)2 ;

3. над полем комплексных чисел

е1(l)=l+2i, е2(l)=l-2i, е3(l)=(l+2i)2, е4(l)=(l-2i)2,

е5(l)=(l+Ö2)2, е6(l)=(l-Ö2)2 .

2) Найти инвариантные множители l-матрицы А(l) размеров 6х8 и ранга 5, если даны ее элементарные делители l+1, l+1, (l+1)3, (l-1)2, (l-1)2.

Так как число всех инвариантных множителей равно меньшему из размеров матрицы, т.е. 6, а число инвариантных множителей, отличных от нуля, равно рангу, т.е. 5, то Е6(l)=0. Далее Е5(l)= (l+1)3(l-1)2, Е4(l)=(l+1)(l-1)2, Е3 (l)=l+1.

Так как мы уже использовали все элементарные делители, то других инвариантных множителей положительной степени не может быть. Поэтому Е2(l)= Е1(l)=1.

3) Найти каноническую форму диагональной l-матрицы А(l)=íl2, 0, l2+l, l2-1, l4-l2ý. Здесь порядок матрицы равен 5, а ранг равен 4. Поэтому Е5(l) =0. Элементарные делители диагональных элементов:

l2, l, l+1, l+1, l-1, l2, l+1, l-1.

Значит,

Е4(l)= l2(l+1)( l-1)= l4-l2, Е3(l)= l2(l+1)( l-1)= l4-l2,

Е2(l)= l(l+1)= l2+l, Е1(l)=1.

Каноническая форма имеет вид í1, l2+l, l4-l2, l4-l2, 0ý.

Глава II. Матричные многочлены.

§1. Деление матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу.

Матричным многочленом от переменной l называется выражение вида

F(λ) = Ао λm + А1 λm-1 + А2 λm-2 + … + Аm , (1)

где Ао, …, Аm - квадратные матрицы одного и того же порядка с элементами из основного поля К. Число m называется степенью многочлена, если Ао≠0. Два многочлена называются равными, если равны матрицы, стоящие в этих многочленах при одинаковых степенях переменной λ. Складываются и перемножаются матричные λ-многочлены по обычным правилам. Ясно, что каждый λ-многочлен можно записать в виде одной матрицы, элементами которой являются обыкновенные многочлены от λ, и обратно. Например,

1 2 + 5 6 λ + 1 0 λ² = λ² +5λ + 1 6l+ 2

0 3 7 -2 0 1 7λ λ²-2λ + 3 .

Поэтому матричные λ-многочлены являются лишь особым видом записи λ-матриц .

Многочлен F(λ) называется регулярным, если матрица Ао обратима.

Сумма (разность) двух матричных многочленов одного и того же порядка может быть представлена в виде многочлена, степень которого не превосходит наибольшей из степеней данных многочленов.

Произведение двух матричных многочленов равно многочлену, степень которого меньше или равна сумме степеней сомножителей. Если хотя бы один их двух сомножителей регулярный многочлен, то в этом случае степень произведения всегда равна сумме степеней сомножителей.

Пусть даны два матричных многочлена А(λ) и В(λ) одного и того же порядка n, причем В(λ) - регулярный многочлен:

А(λ) = Аоλm + А1λm-1 + … + Аm (Ао≠0),

В(λ) = Воλр + В1λр-1 + … + Вр (|Во|≠0).

Будем говорить, что матричные многочлены Q(λ) и R(λ) являются соответственно правым частным и правым остатком при делении А(λ) на В(λ), если

А(λ) = Q(λ)В(λ) + R(λ) (2)

и степень R(λ) меньше степени В(λ).

Совершенно аналогично будем называть многочлены ^Q(λ) и ^R(λ) соответственно левым частным и левым остатком при делении А(λ) на В(λ), если

А(λ) = В(λ) ^Q(λ) + ^R(λ) (3)

и степень ^R(λ) меньше степени В(λ).

В общем случае многочлены Q(λ) и R(λ) не совпадают с ^Q(λ) и ^R(λ).

Покажем, что как правое, так и левое деление матричных многочленов одного и того же порядка всегда выполнимо и однозначно, если делитель - регулярный многочлен.

Рассмотрим правое деление А(λ) на В(λ). Если m<p, можно положить Q(λ)=0, R(λ)=А(λ). В случае m≥p для нахождения частного Q(λ) и остатка R(λ) применим обычную схему деления многочлена на многочлен. "Разделим" старший член делимого Аоλm на старший член делителя Воλр . Получим старший член искомого частного АоВо -1λm-p. Умножим этот член справа на делитель В(λ) и полученное произведение вычтем из А(λ). Найдем "первый остаток" А(1)(λ):

А(λ)= АоВо -1λm-pВ(λ) + А(1)(λ). (4)

Степень m(1) многочлена А(1)(λ) меньше m:

А(1)(λ) = Ао(1) λm(1) + … (Ао(1)≠0, m(1)<m). (5)

Если m(1)≥p, то повторя этот процесс, получаем:

А(1)(λ) = Ао(1)Во -1 λm(1)-р В(λ) + А(2)(λ), (6)