Например, если А - неособенная матрица, f(l)=l-1 , то f(А)= А-1 и f¢(ri)=-ri-2¹0. Поэтому, если каждый элементарный делитель (l-ri)ni матрицы А заменить выражением (l-ri-1)ni, то получится система элементарных делителей обратной матрицы.

§5. Степенные ряды

Последовательность квадратных матриц

А1, А2, ., Аm, Аm+1, . . (14)

одного и того же порядка называется сходящейся к матрице А, если элементы матриц (14), стоящие на пересечении заданного столбца и заданной строки, стремятся к соответствующему элементу матрицы А. Из этого определения непосредственно ясно, что если матрицы Аm и Bm при возрастании m стремятся соответственно к А и В, то Аm+Bm и АmBm стремятся к А+В и АВ. В частности, если Т - постоянная матрица, а матрица Аm стремится к А, то Т-1АmТ будет иметь своим пределом Т-1АТ. Далее, если

Аm = Аm(1) + Аm(2) + . + Аm(s) (m=1, 2, .),

где порядки клеток от m не зависят, то Аm при возрастании m стремится к некоторому пределу тогда и только тогда, если к пределу стремится каждая клетка Аm(i) отдельно.

Последнее замечание позволяет весьма просто решить вопрос о сходимости так называемых степенных рядов от матрицы. Пусть

α0 + α1l + α2l2 + . + αmlm + . (15)

- формальный степенной ряд относительно переменной l. Выражение

α0Е +α1А + α2А2 + . + αmАm + . (16)

называется соответствующим степенным рядом от матрицы А, а многочлен

fn(А) = α0Е + α1А + . + αnАn

- n-й начальной суммой этого ряда. Ряд (16) называется сходящимся, если последовательность начальных сумм f1(А), , fm(А), . имеет предел; в случае существования этот предел называется суммой ряда (16).

Приведем матрицу А к нормальной форме

Т-1АТ = В = В1 + В2 + . + Вt ,

где В1, …, Вt - клетки Жордана. Сходимость последовательности fm(А) равносильна сходимости последовательности Т-1fm(А)Т (m=1, 2, …). Но

Т-1fm(А)Т = fm (Т-1АТ) = fm(В) = fm(В1) + . + fm(Вt),

поэтому вопрос о сходимости ряда (16) равносилен следующему; при каких условиях этот ряд сходится для клеток Жордана В1, ., Вt? Рассмотрим одну из этих клеток, например Вi. Пусть ей отвечает элементарный делитель (l-ri)ni . Согласно формуле (3)

fm(ri) f¢m(ri) . fm(ni-1)(ri)

fm(ri) . fm(ni-2)(ri) ,

fm(Вi) =

fm(ri)

cледовательно, fm(Вi) при возрастании m тогда и только тогда стремится к некоторому пределу, когда к пределу стремится fm(ri), f¢m(ri), ., fm(ni-1)(ri), т.е. когда в точке ri сходится ряд (15), а также ряды получаемые из него почленным дифференцированием до (ni-1)-го раза включительно. Из теории аналитических функций известно, что все эти ряды заведомо сходятся, если либо ri лежит внутри круга сходимости ряда (15), либо ri лежит на окружности круга сходимости и (ni-1)-я производная от ряда (15) в точке ri сходится. Следовательно, доказана

Т е о р е м а 3. Для того чтобы степенной ряд от матрицы А сходился, необходимо и достаточно, чтобы каждое собственное значение ri матрицы А либо находилось внутри круга сходимости соответствующего степенного ряда f(l), либо лежало на круге сходимости с тем, чтобы одновременно ряд, полученный (ni-1) - кратным дифференцированием ряда f(l), сходился в точке ri, где ni - степень наивысшего элементарного делителя, принадлежащего ri .

Литература

1. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, Гостехиздат, М., 1954.

2. Куликов Л.Я., Алгебра и теория чисел, М., Высшая школа, 1989.

3. Курош А.Г., Курс высшей алгебры, Издание 6.

4. Мальцев А.И., Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1975.

5. Мишина А.П., Проскуряков И.В., Высшая алгебра, Издательство физико-математической литературы, М., 1962.