Т е о р е м а Г а м и л ь т о н а - К э л и. Каждая матрица является корнем своего характеристического многочлена, т.е. ∆(А)= 0.

Пример.

А = 2 1

-1 3 ,

∆(λ) = λ - 2 -1 = λ² - 5λ + 7,

1 λ - 3

∆(А) = АІ - 5А + 7Е = 3 5 -5 2 1 +7 1 0 = 0 0 = 0.

-5 8 -1 3 0 1 0 0

§4. Минимальный многочлен матрицы

Определение. Скалярный многочлен F(λ) называется аннулирующим многочленом квадратной матрицы А, если

F(А) = 0.

Аннулирующий многочлен ψ(λ) наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице, называется минимальным многочленом матрицы А.

Согласно теореме Гамильтона- Кэли характеристический многочлен

∆(λ) матрицы А является аннулирующим для этой матрицы. Однако, в общем случае он не является минимальным.

Разделим произвольный аннулирующий многочлен f(λ) на минимальный:

f(λ) = ψ(λ)q(λ) + r(λ),

степень r(λ) меньше степени ψ(λ). Отсюда имеем:

f(А) = ψ(А)q(А) + r(А).

Поскольку f(А) = 0 и ψ(А) = 0, то, значит, и r(А) = 0. Но степень r(λ) меньше степени минимального многочлена ψ(λ). Поэтому r(λ)≡0. Таким образом, произвольный аннулирующий многочлен матрицы всегда делится без остатка на ее минимальный многочлен.

Пусть два многочлена ψ(λ) и ψ'(λ) являются минимальными для одной и той же матрицы. Тогда каждый из них делится на другой многочлен без остатка, т.е. эти многочлены отличаются постоянными множителями. Этот постоянный множитель равен единице, поскольку равны единице старшие коэффициенты в ψ(λ) и ψ'(λ). Мы доказали единственность минимального многочлена для данной матрицы А.

Если Dn-1(λ) - наибольший общий делитель миноров (n-1)-го порядка характеристической матрицы λЕ-А, а Dn(λ)=| λЕ-А |, то минимальный многочлен ψ(λ) матрицы А можно найти по формуле

ψ(λ) = Dn(λ) : Dn-1(λ) = Еn(λ),

где Еn - последний инвариантный множитель матрицы λЕ-А.

Отсюда ясно, что минимальный многочлен тогда и только тогда совпадает с характеристическим многочленом, когда Dn-1(λ)=1, т.е. когда матрица λЕ-А имеет лишь один инвариантный множитель, отличный от единицы, именно Еn(λ).

Минимальный многочлен клеточно-диагональной матрицы

А = {А1, А2, …, Аs}

равен наименьшему общему кратному минимальных многочленов диагональных клеток Аi.

Примеры:

1) Минимальный многочлен нулевой матрицы равен l, а единичной матрицы Е равен l-1.

2) Найти минимальный многочлен инволютивной матрицы А, т.е. матрицы, для которой А2=Е.

В данном случае А2 - Е = 0. Поэтому аннулирующим многочленом будет f(l)=l2-1. Так как минимальный многочлен делит любой аннулирующий, то возможны случаи:

y(l)=l-1, y(l)=l+1, y(l)=l2+1.

В первом случае А - Е = 0, А = Е. Во втором А + Е = 0, А = -Е. В третьем А ¹ ± Е . Итак, если А ¹ ± Е и А2=Е, то y(l)=l2-1.

§5. Критерий подобия матриц

Пусть дана матрица А=||аik||1n с числовыми элементами из поля К. Ее характеристическая матрица λЕ-А является λ-матрицей ранга n и потому имеет n инвариантных многочленов

i1(λ), i2(λ), …, in(λ).

Следующая теорема показывает, что эти инвариантные многочлены определяют исходную матрицу А с точностью до преобразования подобия.

Т е о р е м а 4. Для того чтобы две матрицы А=||аik||1n и В=||вik||1n были подобны (В=Т-1АТ), необходимо и достаточно, чтобы они имели одни и те же инвариантные многочлены, или, что то же, одни и те же элементарные делители в поле К.

Доказательство. Условие необходимо. Действительно , если матрицы А и В подобны, то существует такая неособенная матрица Т, что

В=Т-1АТ.

Отсюда

λЕ-В = Т-1 (λЕ-А)Т.

Это равенство показывает, что характеристические матрицы λЕ-А и λЕ-В эквивалентны и потому имеют одни и те же инвариантные многочлены.

Условие достаточно. Пусть характеристические матрицы λЕ-А и λЕ-В имеют одни и те же инвариантные многочлены. Тогда эти λ-матрицы эквивалентны, и, следовательно, существуют две многочленные матрицы Р(λ) и Q(λ) такие, что

λЕ-В = Р(λ)(λЕ-А) Q(λ). (23)

Применяя к матричным двучленам λЕ-А и λЕ-В второе условие эквивалентности, мы можем в тождестве (23) заменить λ-матрицы Р(λ) и Q(λ) постоянными матрицами Р и Q:

λЕ-В = Р(λЕ-А)Q, (24)

причем в качестве Р и Q можно взять соответственно левый и правый остатки от деления Р(λ) и Q(λ) на λЕ-В, т.е. на основании обобщенной теоремы Безу можно положить:

Р = ˆР(В), Q = Q(В). (25)

Приравнивая в обеих частях равенства (24) коэффициенты при нулевой и при первой степенях λ, получим:

В = РАQ, Е = РQ,

т.е.

В=Т-1АТ,

где

Т = Q = Р-1.

Теорема доказана.

Из теоремы можно извлечь следующий алгоритм для распознования подобия матриц А, В: составляем характеристические матрицы λЕ-А, λЕ-В и приводим их элементарными преобразованиями к канонической диагональной форме. Если эти формы совпадают, то матрицы А, В подобны; если различны, то А и В не подобны.

Добавление к теореме 4. Если А=||аik||1n и В=||вik||1n - две подобные матрицы