В=Т-1АТ, (26)

то в качестве преобразующей матрицы Т можно взять матрицу

Т = Q(В) = [^Р(В)]-1, (27)

где Р(λ) и Q(λ) - многочленные матрицы в тождестве

λЕ-В = Р(λ)(λЕ-А)Q(λ),

связывающем эквивалентные характеристические матрицы λЕ-А и λЕ-В; в формуле (27) Q(В) обозначает правое значение матричного многочлена Q(λ), а ^Р(В) - левое значение матричного многочлена Р(λ) при замене аргумента λ матрицей В.

Пример.

Доказать, что матрицы

1 -3 4 -3

А = 1 2 и В = 3 -1

подобны, и найти преобразующую матрицу Т, для которой В=Т-1АТ.

Инвариантные множители характеристических матриц lЕ-А и lЕ-В одинаковы:

Е1(l) = 1 , Е2(l) = l2- 3l + 5.

Поэтому матрицы А и В подобны. Полагая

х у

Т = z t

и приравнивая элементы матриц в равенстве АТ=ТВ, получим

х - 3z = 4х + 3у

х + 2z = 4z + 3t ,

y - 3t = -3x - y

y + 2t = -3z - t .

Решая методом исключения, найдем два линейно независимых уравнения:

x + y + z = 0 ,

y + 3z + 3t = 0 .

Общее решение: х = 2z + 3t, y = -3z - 3t. Подставляя эти значения х и у в определитель, найдем

2z+3t -3z-3t = 3z2 + 5zt + 3t2

|T| = z t

Беря например, z=-1, t=1, получим |T| =1, х=1, у=0, откуда

1 0

Т = -1 0 .

§6. Нормальная форма Жордана

Т е о р е м а 5. Каждая квадратная матрица над полем комплексных чисел, а также и над любым другим алгебраически замкнутым полем подобна матрице, имеющей жорданову форму. Две матрицы Жордана подобны тогда и только тогда, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга, самое большее лишь расположением клеток на главной диагонали.

Доказательству теоремы предпошлем две леммы, имеющие и самостоятельный интерес:

Лемма 1. Характеристическая матрица клетки Жордана имеет только один элементарный делитель (λ - ρ)n, где n - порядок клетки, а ρ - ее собственное значение.

Характеристическая матрица заданной клетки Жордана имеет вид

λ - ρ -1 0 … 0 0

λ - ρ -1 … 0 0

λЕ-А = ……………. .

λ - ρ -1

λ - ρ

Вычислим наибольший общий делитель Dk(λ) миноров порядка k матрицы λЕ-А. Прежде всего, имеем

Dn(λ) = | λЕ-А | = (λ - ρ)n.

Далее, Dn-1(λ) есть наибольший общий делитель всех миноров степени n-1. Но среди последних находится минор

-1 0 … 0 0

λ - ρ -1 … 0 0

λ - ρ … 0 0 = (-1)n-1,

………

λ - ρ -1

получаемый вычеркиванием первого столбца и последней строки матрицы λЕ-А. Поскольку этот минор равен ±1, то Dn-1(λ)=1. Обозначим через d1(λ), …, dn(λ) инвариантные множители матрицы λЕ-А. Из соотношений

Dn-1(λ) = d1(λ) … dn-1(λ) = 1,

Dn (λ) = d1(λ) … dn-1(λ)dn(λ) = (λ - ρ)n

вытекает, что d1(λ) =… = dn-1(λ) =1, dn(λ)=(λ - ρ)n . Следовательно, λЕ-А имеет только один элементарный делитель и этот делитель равен (λ - ρ)n.

Лемма 2. Система элементарных делителей характеристической матрицы жордановой матрицы состоит из элементарных делителей ее клеток Жордана и определяет вид жордановой матрицы однозначно с точностью до порядка следования клеток по главной диагонали.

По определению жордановой матрицей называется клеточно-диагональная матрица с клетками Жордана по главной диагонали. Поэтому характеристическая матрица для матрицы Жордана распадается на характеристические матрицы для отдельных клеток Жордана. Отсюда следует, что система элементарных делителей характеристической матрицы для матрицы Жордана состоит из элементарных делителей характеристических матриц отдельных клеток Жордана, по одному для каждой клетки. Тем самым система элементарных делителей характеристической матрицы для матрицы Жордана определяет вид этой матрицы однозначно с точностью до порядка расположения клеток по главной диагонали.

Характеристические матрицы подобных матриц эквивалентны и потому имеют одинаковые системы элементарных делителей. Отсюда следует, что подобные матрицы Жордана должны состоять из одинаковых клеток Жордана, и для завершения доказательства теоремы остается только для каждой заданной матрицы А уметь построить подобную ей матрицу Жордана. Пусть (λ - ρ1)n1, …, (λ - ρs)ns - полный набор элементарных делителей характеристической матрицы λЕ-А. Обозначим через В клеточно-диагональную матрицу, диагональными клетками которой являются клетки Жордана с указанными элементарными делителями. Следовательно, матрица λЕ-В имеет те же элементарные делители, что и λЕ-А. Но тогда матрицы λЕ-А и λЕ-В эквивалентны, а отсюда вытекает, что А подобна жордановой матрице В. Теорема доказана.