Вычислим многочлены D1(λ), …, Dn(λ) для матрицы, имеющей канонический диагональный вид .

d1(λ)

d2(λ)

.

D = . .

.

dn(λ)

Чтобы получить какой-нибудь минор к-го порядка, мы должны из D вычеркнуть n-k строк и n-k столбцов. Если из D вычеркнуть i-ю строку, то в i-м столбце останутся только нули. Поэтому, чтобы получить минор, отличный от нуля, мы должны вычеркнуть все столбцы матрицы D, номера которых равны номерам вычеркнутых строк. Таким образом, отличные от нуля миноры к-й степени должны иметь вид

dυ1(λ)

dυ2 (λ)

. = dυ1 (λ) dυ2 (λ) … dυk(λ). (1)

.

.

dυk(λ)

Наибольшим общим делителем этих миноров будет Dк(λ). Из неравенств 1 ≤ υ1 ≤ υ2 ≤ … ≤ υk ≤ n следует, что 1 ≤ υ1, 2 ≤ υ2, … , k ≤ υk. Поэтому dυi(λ) делится на di(λ), а значит, dυ1(λ) … dυk(λ) делится на d1(λ) … dk(λ). Мы видим, следовательно, что все миноры к-го порядка матрицы D делятся на минор

d1(λ)

.

. = d1(λ) … d k(λ) (2)

.

dk(λ)

Если этот минор равен нулю, то и все миноры к-го порядка матрицы D также равны нулю. Согласно определению в этом случае Dк(λ)=0. Если минор (2) отличен от нуля, то многочлены d1(λ), …, d k(λ) отличны от нуля и имеют старший коэффициент 1. Но тогда и минор (2) имеет старший коэффициент 1. Поскольку все миноры (1) делятся на (2), то Dк(λ) совпадает с (2). Следовательно, в обоих случаях имеем

Dк(λ) = d1(λ)d2(λ)… d k(λ) (к = 1, 2, …, n) (3)

Таковы многочлены Dк(λ) канонической диагональной матрицы с диагональными элементами d1(λ), … , d n(λ).

Рассмотрим теперь произвольную λ-матрицу F. Обозначим через Dк(λ) наибольший общий делитель миноров степени к этой матрицы. Согласно теореме 1. матрицу F элементарными преобразованиями можно привести к канонической диагональной форме

d1(λ)

.

D = . .

.

dn(λ)

Согласно теореме 1. многочлены Dк(λ), вычисленные для матрицы D, совпадают с соответственными многочленами Dк(λ), вычисленными для F. Таким образом, многочлены Dк(λ) матрицы F и диагональные элементы канонической диагональной матрицы D, к которой можно привести F связаны соотношениями (3).

Пусть D1(λ), … , Dr(λ) отличны от нуля, а остальные многочлены Dr+1(λ), … , Dn(λ), если они есть, равны нулю. Тогда из (3) имеем

D1(λ) = d1(λ), d1(λ) = D1(λ),

D2(λ) = d1(λ)d2(λ), d2(λ) = D2(λ) : D1(λ),

…………………. …………………….

Dr(λ) = d1(λ)d2(λ) … dr(λ), dr(λ) = Dr(λ) : Dr-1(λ),

Dr+1(λ) = d1(λ)d2(λ) … dr(λ)dr+1(λ), dr+1(λ) = Dr+1(λ) : Dr(λ).

Поскольку dr+1(λ)=0, то dr+2(λ), … , dn(λ) также должны быть равны нулю, и мы имеем окончательно

d1(λ) = D1(λ), d2(λ) = D2(λ) : D1(λ), … , dr(λ) = Dr(λ) : Dr-1(λ),

dr+1(λ) = … = dn(λ) = 0 (4)

Тем самым мы получили следующую теорему:

Т е о р е м а 3. Если наибольшие общие делители Dк(λ) миноров порядка к λ-матрицы F при к=1, 2, … r отличны от нуля, а Dr+1(λ)=0, то диагональные элементы dк(λ) канонической диагональной матрицы, к которой F приводится элементарными преобразованиями, выражаются через Dк(λ) по формулам (4) и определяются, таким образом, матрицей F однозначно.

Многочлены d1(λ), … , dn(λ) называются инвариантными множителями матрицы F. Число r, в равенствах (4) это - ранг матрицы F. Действительно, ранг матрицы F есть порядок наивысшего минора F,отличного от нуля. Если этот порядок равен r, то, следовательно, Dr(λ)≠0, а Dr+1(λ)=0. Обратно, условия Dr(λ)≠0, Dr+1(λ)=0 означают, что некоторый минор порядка r отличен от нуля, а все миноры порядка r+1 равны нулю. Следовательно, ранг F равен r.

§4. Условия эквивалентности λ-матриц.

Первое условие эквивалентности. Для того чтобы многочленные матрицы порядка n были эквивалентны , необходимо и достаточно, чтобы наибольшие общие делители их миноров к-го порядка совпадали при к=1, 2, … , n.

Поскольку совпадение наибольших общих делителей миноров равносильно совпадению соответствующих инвариантных множителей, то первое условие эквивалентности можно сформулировать и в следующем виде: для эквивалентности λ-матриц необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие инвариантные множители были равны.

Доказательство очевидно. В самом деле, если две λ-матрицы F, G эквивалентны, то их наибольшие общие делители Dк(λ) одинаковы (теорема 2). Обратно, если многочлены Dк(λ) у F и G равны, то F и G элементарными преобразованиями приводятся к одной и той же канонической диагональной матрице (теорема 3). Но две матрицы, эквивалентные третьей эквивалентны между собой; следовательно, F эквивалентна G, что и требовалось.

Второе условие эквивалентности. Для того чтобы многочленные матрицы F и G порядка n были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли соотношению

G = PFQ,

где P, Q - некоторые многочленные матрицы с постоянными отличными от нуля определителями.

Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, сделаем несколько замечаний. Пусть

1

.

.

.

1

А = α i-я строка,

1

.

.

.

1

где α- некоторое число, отличное от нуля. Умножая произвольную матрицу F на A слева, мы увидим, что все элементы матрицы F останутся без изменения, кроме элементов i-й строки которые умножаются на α. Таким образом, каждое элементарное преобразование типа II, совершаемое над матрицей F, равносильно умножению F на подходящую матрицу А слева. Аналогично, если умножить матрицу F слева на матрицу