А(2)(λ) = А(2)λm(2) + … (m(2)<m(1)) и т.д. Так как степени многочленов А(λ),

Многочленные матрицы
Рефераты >> Математика >> Многочленные матрицы

А(2)(λ) = А(2)λm(2) + … (m(2)<m(1))

и т.д.

Так как степени многочленов А(λ), А(1)(λ), А(2)(λ), … убывают, то на некотором этапе мы придем к остатку R(λ), степень которого меньше р. Тогда из (4), (6) будет следовать:

А(λ) = Q(λ) В(λ) + R(λ),

где Q(λ) = АоВо-1 λm-р + Ао(1)Во-1 λm(1)-р + … (7)

Докажем теперь однозначность правого деления. Пусть одновременно

А(λ) = Q(λ) В(λ) + R(λ) (8)

и

А(λ) = Q*(λ) В(λ) + R*(λ), (9)

где степени многочленов R(λ) и R*(λ) меньше степени В(λ), т.е. меньше р. Вычитая почленно (8) из (9) получим:

[Q(λ) - Q*(λ)] В(λ) = R*(λ) - R(λ). (10)

Если бы Q(λ) - Q*(λ) ≡ 0, то поскольку |Во|≠0, степень левой части равенства (10) равнялось бы сумме степеней В(λ) и Q(λ) - Q*(λ) и потому была бы ≥р. Это невозможно, так как степень многочлена, стоящего в правой части равенства (10), меньше р. Таким образом, Q(λ) - Q*(λ)≡0, а тогда из (10) R*(λ) - R(λ)≡0, т.е.

Q(λ) = Q*(λ), R(λ) = R*(λ).

Совершенно аналогично устанавливаются существование и единственность левого частного и левого остатка.

Т е о р е м а 1. (Обобщенная теорема Безу). При правом (левом) делении матричного многочлена F(λ) на бином λЕ-А остаток от деления равен F(А)(соответственно ^F(A)).

Доказательство. Рассмотрим произвольный матричный многочлен n-го порядка

F(λ) = Fо λm + F1 λm-1 + … + Fm (Fо ≠0) (11)

Этот многочлен может быть записан и так:

F(λ) = λm Fо + λm-1 F1 + … + Fm (12)

Обе записи при скалярном λ дают один и тот же результат. Однако если вместо скалярного аргумента λ подставить квадратную матрицу n-го порядка А, то результаты подстановки в (11) и (12) будут различны, так как степени матрицы А могут не быть перестановочными с матричными коэффициентами Fо, F1, …, Fm.

Положим

F(А) = Fо Аm+ F1 Am-1 + … + Fm (13)

и

^F(А) = Аm Fо + Am-1 F1 + … + Fm (14)

и будем называть F(А) правым, а ^F(А) - левым значением многочлена F(λ) при подстановке вместо λ матрицы А.

Разделим многочлен F(λ) на бином λЕ-А. В данном случае правый остаток R и левый остаток ^R не будут зависеть от λ. Для определения правого остатка рассмотрим обычную схему деления:

F(λ) = Fо λm + F1 λm-1 + … + Fm = Fо λm-1(λЕ-А) + (Fо А + F1) λm-1 + F2 λm-2 + …=

= [Fо λm-1 + (Fо А + F1) λm-2] (λЕ-А) + (Fо А2 + F1А1+ F2) λm-2 + F3 λm-3 + … = …

… = [Fо λm-1 + (Fо А + F1) λm-2 + … + (Fо Аm-1 + F1Аm-2 + … + Fm-1)] (λЕ-А) +

+ Fо Аm + F1Аm-1 + … + Fm

Мы нашли, что

R = Fо Аm+ F1Аm-1 + … + Fm = F(А). (15)

Совершенно аналогично

^R =^F(А). (16)

Из доказанной теоремы следует, что многочлен F(λ) делится без остатка справа (слева) на бином λЕ-А тогда и только тогда, когда F(А)=0 (соответственно ^F(А)=0).

Пример

Проверить, что А(l)=Q(l)В(l) + R(l).