Курс лекций по теории вероятностейРефераты >> Математика >> Курс лекций по теории вероятностей
2.
3. Если , то
4. Если , то
5.
6.
7.
8.
9. (2)
Раздел 4. Условная вероятность, независимость
4.1 Условная вероятность
Пример 13. Кубик подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?
В данном случае пространство элементарных исходов состоит из трех равновозможных элементарных исходов: Ω = {4, 5, 6}, и событию A = {выпало четное число очков} благоприятствуют 2 из них: A = {4, 6}. Поэтому P(A) = 2/3.
Посмотрим на этот вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Слова «известно, что выпало более трех очков» означают, что в эксперименте произошло событие B = {4, 5, 6},. Слова «какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении B происходит и А. Вероятность события А, вычисленную в предположении, что нечто о результате эксперимента уже известно (событие B произошло), мы будем обозначать через P(A/B)
Будем считать, что условная вероятность определена только в случае, когда P(В) > 0.
Следующее свойство называется "теоремой умножения":
Теорема 6. P(A∩B) = P(B)P(A\B) = P(A)P(B\A), если соответствующие условные вероятности определены (то есть если P(В) > 0, P(A) > 0).
Теорема умножения для большего числа событий:
Теорема 7. P(A1 ∩ A2 ∩…∩ An) = P(A1) P(A2\A1) P(A3 \A1 ∩A2)… P(An \A1∩…∩An-1)если соответствующие условные вероятности определены.
4.2 Независимость
Определение 16. События A и B называются независимыми, если P(A∩B) = P(A)P(B)
Пример 14.
1. Точка с координатами ξ, η бросается наудачу в квадрат со стороной 1. Доказать, что для любых х, у ÎR события A = { ξ <x} и B= { η <y} независимы.
1. Рассмотрим х, у Î [0,1]). Видим, что P(A) = x, P(B) = y, P(A∩B) = x y, так что A = { ξ <1/2} и B= { η <1/2} независимы.
2. На рисунке видим, что P(A) = 3/4, P(B) = 3/4 P(A∩B) = 1/2ч≠ (3/4)2, так что события A = { ξ <1/2} и B= { η <1/2} зависимы.
Замечание 8. Если события A и B несовместны, то они независимы, если и только если P(A) = 0 или P(B) = 0
Следствие 2. Если P(B) > 0, то события А и В независимы P(А\В) =Р(А)
Если P(А) > 0, то события А и В независимы P(В\А) =Р(В)
Лемма 1. Если события А и В независимы, то независимы и события .
Определение 17. События А1, А2…Аn называются независимыми в совокупности, если для любого набора
1 ≤ i1, i2…ik ≤ n
) (3)
Замечание 9. Если события А1, А2…Аn независимы в совокупности, то они попарно независимы, то есть любые два события Аi, Аj независимы. Достаточно в равенстве (3) взять k =2. Обратное, как показывает следующий пример, неверно.
Пример 15 (Пример С. Н. Бернштейна).
Рассмотрим правильный тетраэдр, 3 грани которого окрашены, соответственно, в красный, синий, зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета. Событие A, (B, C) означает, что выпала грань, содержащая красный (синий, зеленый) цвета.
Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырех. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань содержит два цвета. А так как 1/4 = 1/2 1/2, то все события попарно независимы.
Но вероятность пересечения всех трех тоже равна 1/4, а не 1/8, то есть события не являются независимыми в совокупности.
Заметьте, что равенство (6) выполнено для k = 2, но не выполнено для k = 3.
4.3 Формула полной вероятности
Пример 16. Есть 3 завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-й завод производит 25%, 2-й завод — 35% и 3-й завод — 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено 1-м заводом, если это изделие бракованное.
Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, то есть
0,05*0,25 + 0,03*0,35 + 0,04*0,4.
Вторая вероятность равна доле брака 1-го завода среди всего брака, то есть
Определение 18. Набор попарно несовместных событий Н1, Н2… таких, что P(Аi) > 0 для всех i и
называется полной группой событий или разбиение пространства Ω
События Н1, Н2 …, образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события А могут быть сравнительно просто вычислены P(А/ Нi) (вероятность событию А произойти при выполнении «гипотезы» Нi) и собственно P(Нi)(вероятность выполнения «гипотезы» Нi).