Поэтому

Пример 34. Распределение Пуассона Пλ

Показать, что

, следовательно

Пример 35. Равномерное распределение Ua,b

Пример 36. Стандартное нормальное распределение N0,1

поскольку под интегралом стоит нечетная функция, и сам интеграл абсолютно сходится (за счет быстро убывающей

Последнее равенство следует из того, что

Пример 37. Нормальное распределение

Мы знаем, что если

Поэтому

Пример 38. Показательное (экспоненциальное) распределение Еα

Найдем для произвольного k Î N момент порядка k.

В последнем равенстве мы воспользовались гамма-функцией Эйлера:

Соответственно,

Пример 39. Стандартное распределение Коши С0,1

Распределение Коши. Говорят, что ξ имеет распределение Коши с параметрами α, σ2, где α Î R, σ > 0, если

для всех х Î R

Распределение Коши имеет, например, абсцисса точки пересечения луча, посланного из точки (α, σ) под наудачу выбранным углом,

с осью ОХ.

Математическое ожидание для распределения Коши не существует, поскольку

расходится (подинтегральная функция ведет себя на бесконечности как 1/х).

Пример 40. Распределение Парето

Распределение Парето. Говорят, что ξ имеет распределение Парето с параметрами х0, s, где х0 > 0, s > 0, если

У распределения Парето существуют только моменты порядка u < s, поскольку

сходится при u < s, то есть когда подинтегральная функция на бесконечности бесконечно мала по сравнению с 1/х.

«Случайных величин без мат. ожидания не бывает, так как, если у нас есть случайная величина мы всегда в праве от нее что-нибудь ожидать.»

Из студенческой контрольной работы.

Раздел 11. Числовые характеристики случайных величин

11.1 Математическое ожидание случайной величины

Определение 38. Математическим ожиданием Eξ (средним значением, первым моментом) случайной величины ξ с дискретным распределением, задаваемым таблицей P(ξ = аi) = pi, называется число

если указанный ряд абсолютно сходится.

Если же

, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Определение 39. Математическим ожиданием Eξ случайной величины ξ с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения fξ(x), называется число

если указанный интеграл абсолютно сходится.

Если же

, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точку аi массу pi (для дискретного распределения), или «размазав» ее с плотностью fξ(x) (для абсолютно непрерывного распределения), то точка Eξ есть координата «центра тяжести» прямой.

Пример 26. Пусть случайная величина ξ равна числу очков, выпадающих при одном подбрасывании кубика. Тогда

в среднем при подбрасывании кубика выпадает 3.5 очка

Пример 27. Пусть случайная величина ξ — координата точки, брошенной наудачу на отрезок [a,b]. Тогда

центр тяжести равномерного распределения на отрезке есть середина отрезка.

11.2 Свойства математического ожидания

Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.

E0. Математическое ожидание случайной величины есть ЧИСЛО!

E1. Для произвольной функции функция g: R ® R

Доказательство. Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения. Пусть g(ξ) принимает значения с1 с2 … с вероятностями

Тогда

E2 Математическое ожидание const равно этой const Eс = с.

E3. const можно вынести за знак математического ожидания: E(с ξ) = с Eξ.

Доказательство. Следует из свойства E1 при g(ξ) = с ξ .

E4. Математическое ожидание суммы любых случайных величин ξ и η равно сумме их математических ожиданий.

E (ξ + η ) = E (ξ )+ E (η)