Примеры событий: A = {1,2} — выпало одно или два очка; A = {1,3,5} — выпало нечетное число очков.

Пример 2. Два раза подбрасывается одна игральная кость (кубик). Или, что, то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Как мы увидим в дальнейшем, здесь самый разумный способ задать пространство элементарных исходов — считать результатом эксперимента упорядоченную пару чисел (i, j), в которой 1£ i, j £ 6и i - число очков выпавших первый раз, j – число очков, выпавших второй раз. Ω = {(i, j), где 1£ i, j £ 6}

Примеры событий:

A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} — при первом подбрасывании выпало одно очко;

A = {(1,1),(2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} — при двух подбрасываниях выпало одинаковое число очков.

Пример 3. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты (а если нам не безразличен угол поворота монеты, то можно добавить и величину этого угла). Пространство элементарных исходов — множество точек стола (во втором случае — множество пар {x, φ} , где x — координата точки стола и φ Î[0, 2π]— угол поворота). Число элементарных исходов такого эксперимента несчетно.

Пример 4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счетного числа исходов:

Ω = {г, рг, ррг, рррг, ррррг, рррррг, …} , где р и г обозначают выпадение решки и герба при одном подбрасывании, соответственно.

Пример 5. Приведем пример неправильно выбранного пространства элементарных событий. Пусть при бросания игральной кости Ч = {четное число очков}, Т = {число очков, кратное трем}. Тогда Ω = {Ч, Т, 1, 5} составляет все исходы эксперимента, однако исходы Ч и Т могут наступать одновременно.

Определение 3.

1. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, то есть единственное событие, включающее все без исключения элементарные исходы — событие Ω.

2. Невозможным называется событие которое не может произойти в результате эксперимента, то есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» Æ). Заметим, что всегда Æ Î Ω.

Определение 4. Пусть А и В — события.

1. Объединением А U В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло либо А , либо В, либо оба события одновременно. На языке теории множеств А U В есть множество, содержащее как элементарные исходы, входящие в А, так и элементарные исходы, входящие в В.

2. Пересечением А ∩ В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошли оба события А и В одновременно. То есть А ∩ В есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие одновременно в А и в В.

3. Дополнением А \ В события А до В называется событие, состоящее в том, что произошло событие А , но не произошло В. То есть А \ В есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в А, но не входящие в В.

4. Противоположным (или дополнительным) к событию А называется событие , состоящее в том, что событие А в результате эксперимента не произошло. Иначе говоря, есть множество, содержащее элементарные исходы, не входящие в А.

Определение 5.

1. События А и В называются несовместными, если А ∩ В = Æ.

2. События А1, А2 , … Аn называются попарно несовместными, если для любых i ≠ j, 1 £ i,j £ n, события Аiи Аj несовместны.

3. Говорят, что событие А влечет событие В, и пишут А Í В, если всегда, как только происходит событие А, происходит и событие В. На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в А, одновременно входит и в событие В.

Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов

Предположим, что мы имеем дело с дискретным пространством элементарных исходов, то есть пространством, состоящим из конечного или счетного числа элементов:

Ω = {ω1, ω2 , … ωn , … }.

Определение 6. Поставим каждому элементарному исходу ωi Î Ω в соответствие число p(ωi ) Î [0,1] так, что

Назовем число p(ωi) вероятностью элементарного исхода ωi . Вероятностью события А Í Ω называется число

равное сумме вероятностей элементарных исходов, входящих в множество А.

Замечание 4. Позднее, познакомившись с аксиоматикой теории вероятностей, мы зададим вероятности событий непосредственно, а не через вероятности элементарных исходов. Тем более, что сложением вероятностей элементарных исходов можно получить лишь вероятность события, состоящего не более чем из счетного числа элементарных исходов (иначе само понятие суммирования не определено). Но на дискретном пространстве элементарных исходов определить вероятности событий так, как это сделано в определении 6, всегда возможно.

Перечислим очевидные в случае дискретного пространства элементарных исходов свойства вероятности, которые мы скоро докажем сразу в общем случае.

1. 0 £ Р(А) £ 1;

2. Р(Ω) = 1;

3. Р(Æ) = 0;

4. Р(Ō) = 1 - Р(О);

5. если А и В несовместны, то Р(А U В) = Р(А) + Р(В);

6. в общем же случае Р(А U В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ∩ В);

7. если А Í В, то Р(А) £ Р(В).

Классическое определение вероятности

Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: Ω = {ω1, ω2, … ωN}. Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной 1/ N.

Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте (симметричная монета, хорошо перемешанная колода карт, правильная кость). Либо мы можем заранее считать исходы эксперимента равновозможными, но тогда рано или поздно все равно возникнет вопрос о соответствии такой математической модели реальному эксперименту.

Если событие А = {} состоит из k элементарных исходов, то вероятность этого события равняется

отношению k / N:

где символом │А│ обозначено число элементов конечного множества А.

Определение 7.