Курс лекций по теории вероятностейРефераты >> Математика >> Курс лекций по теории вероятностей
Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка
Доказательство. Первый шарик можно выбрать n способами. При каждом из этих способов второй шарик можно выбрать также n способами, и так k раз.
Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка
Рассмотрим урну с двумя шариками и перечислим результаты выбора двух шариков из этой урны при выборе с возвращением:
С учетом порядка |
Без учета порядка |
(1, 1) (2, 2) (1, 2) (2, 1) | (1, 1) (2, 2) (1, 2) |
Заметим, что в схеме «без учета порядка» получилось 3 различных результата в отличие от четырех в схеме «с учетом порядка». (число 4 возникает и согласно теореме 4); и что никаким делением на «число каких-нибудь перестановок» число 3 из 4 получить не удастся.
Доказательство. Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такой схемы выбора. Нам не важен порядок номеров, то есть мы учитываем только, сколько раз в нашем наборе из k номеров шариков появился шарик номер 1, шарик номер 2, … , шарик номер n. То есть результат выбора можно представить набором чисел k1, k2, …kn, в котором ki — число появлений шарика номер i в выборке, и k1+ k2+ …+kn.= k. При этом два результата эксперимента различны, если соответствующие им наборы k1, k2, …,kn не совпадают.
Представим себе другой эксперимент, имеющий точно такие же результаты (и, следовательно, их столько же). Есть n ящиков, в которых размещается k шариков. Нас интересует только количество шариков в каждом ящике. То есть, результатом эксперимента снова является набор чисел k1, k2, …kn , в котором ki — число шариков в ящике с номером i, и k1+ k2+ … +kn.= k. Числа ki по-прежнему принимают натуральные значения или равны 0.
Мы видим результат размещения 9 шариков по 7 ящикам. Здесь 1-й ящик содержит 3 шарика, 2-й и 6-й ящики пусты, 3-й ящик содержит 1 шарик, и в 4-м и 5-м ящиках есть по 2 шарика. Переложим один шарик из первого ящика во второй и изобразим таким же образом еще один результат размещения:
И еще один:
Но способов расставить k шариков на n-1+k местах ровно — это в точности число способов выбрать из n-1+k номеров мест k номеров мест (без учета порядка и без возвращения), на которые нужно поместить шарики. Заметим, что равенство верно как по определению биномиальных коэффициентов или свойствам треугольника Паскаля, так и в силу того, что можно вместо выбора k мест для шариков выбирать n-1 место для перегородок ящиков, заполняя шариками оставшиеся места.
1.2 Основные понятия элементарной теории вероятностей
Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость.
Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах (явлениях). Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать заранее — основное, что отличает случайное явление от детерминированного.
Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях и обладают (непонятно как проверяемым заранее) свойством «статистической устойчивости : «если А — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля n(A)/n числа экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов n, приближаясь к некоторому числу P(A). Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию А произойти.
В дальнейшем мы будем говорить лишь о случайных экспериментах, обладающих данными свойствами, а свойство статистической устойчивости докажем в утверждении, известном как закон больших чисел Я.Бернулли.
Пространство элементарных исходов. Операции над событиями
Определение 1. Пространством элементарных исходов Ω («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой ω («омега») с индексами или без.
Определение 2. Событиями мы будем называть подмножества множества Ω. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие А Í Ω, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество А.
Замечание 3. Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно все подмножества множества Ω, а лишь множества из некоторого набора подмножеств. О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.
Пример 1. Один раз подбрасывается одна игральная кость (кубик). Самый разумный способ задать пространство элементарных исходов таков: Ω = {1,2,3,4,5,6}, элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.