Мы часто будем использовать обозначение для функции распределения нормального распределения с параметрами а и σ2.

Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение при а = 0 и σ= 1 называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид

для любого x Î R

а функция распределения

табулирована (то есть ее значения вычислены при многих х) почти во всех математических справочниках. Установим связь между

Свойство 5. Для любого x Î R справедливо соотношение

То же самое на языке случайных величин можно сформулировать так:

Следствие 5. Если то

Следствие 6. Если то

Как мы видим, вычисление любых вероятностей для нормально распределенной случайной величины сводится к вычислению функции распределения Ф0,1. Ее свойства

Свойство 6. Ф0,1(0) = 0,5

Свойство 7. Ф0,1(-х) = 1 - Ф0,1(х)

Свойство 8. Если ξ Î N0,1, то

Свойство 9 (« Правило трех сигм»).

Если то

Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [a - 3σ, a - 3σ] всегда полезно.

Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [a-3σ, a+3σ], всегда полезно.

Раздел 9. Случайные вектора и их распределения

Определение 29. Если случайные величины заданы на одном вероятностном пространстве, то вектор () мы будем называть случайным вектором.

Определение 30. Функция называется функцией распределения случайного вектора () или функцией совместного распределения случайных величин .

9.1 Свойства функции совместного распределения

Для простоты обозначений все дальнейшие рассуждения и формулировки приводятся в случае n = 2 для случайного вектора ()

F0)

F1) не убывает по каждой координате вектора (x1 x2).

F2) Для любого i = 1, 2, существуют

При этом

F3) Функция по каждой координате вектора (x1 x2) непрерывна слева.

Только теперь этих свойств оказывается недостаточно для описания класса функций совместного распределения. Иначе говоря, выполнение этих свойств для некоторой функции F: R2 ® R вовсе не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.

Пример 25. Функция

a) удовлетворяет всем свойствам (F0)-(F3);

б) не является функцией распределения никакого вектора (ξ1, ξ2.) хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдется и прямоугольник [a1 b1] x [a2 b2], вероятность попасть в который (вычисленная с помощью этой «функции распределения») отрицательна:

P(a1 £ ξ1< b1 , a2 £ ξ2<b2 ) < 0!

Как же связана вероятность вектору попасть в прямоугольник с функцией распределения этого вектора?

Упражнение. Доказать, что

P(a1 £ ξ1< b1 , a2 £ ξ2<b2 )= F ξ1 ξ2 (b1, b2) - F ξ1 ξ2 (a1, b2) - F ξ1 ξ2 (b1, a2) + F ξ1 ξ2 (a1, a2) (8)

Оказывается, если потребовать дополнительно от функции F, чтобы для всякого [a1 b1] x [a2 b2] вероятность P(a1 £ ξ1< b1] , [a2 £ ξ2<b2], связанная с функцией F равенством (8), была неотрицательна, то любая функция, обладающая этим свойством и свойствами (F0)-(F3), уже будет функцией распределения некоторого случайного вектора.

9.2 Типы многомерных распределений

Ограничимся рассмотрением только двух случаев, когда совместное распределение координат случайного вектора (ξ1, ξ2.) либо дискретно, либо абсолютно непрерывно.

Дискретное совместное распределение

Определение 31. Говорят, что случайные величины ξ1, ξ2. имеют дискретное, совместное распределение, если существует конечный или счетный набор { ai, bi } такой, что

Таблицу, на пересечении i-й строки и j-го столбца которой (или наоборот) стоит число

P(ξ1= ai ,ξ2= bj) называют таблицей совместного распределения случайных величин ξ1,. ξ2

Замечание 13. Напомню, что таблицы распределения каждой из случайных величин ξ1, ξ2 в отдельности (таблицы частных, или маргинальных распределений) восстанавливаются по таблице совместного распределения с помощью очевидных формул:

Если эти формулы вам не представляются очевидными, необходимо вернуться к разделу 4 и перечитать определение 18 полной группы событий, обратив также внимание на доказательство теоремы 8 (формулы полной вероятности).

Абсолютно непрерывное совместное распределение

Определение 32. Говорят, что с.в. ξ1, ξ2 (заданные на одном вероятностном пространстве) имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, если существует функция такая, что для любой точки (x1, x2) Î R2