, где —число выпадений герба, а — независимые с. в., имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на и поделим на корень из дисперсии одного слагаемого.

Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра — Лапласа, последовательность

слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим произвольную с. в. , имеющую распределение .

Равенство следует из свойства 10.

Замечание 20. Центральной предельной теоремой пользуются для приближенного вычисления вероятностей, связанных с суммами большого числа независимых и одинаково распределенных величин. При этом распределение центрированной и нормированной суммы заменяют на стандартное нормальное распределение.

Следующий результат позволяет оценить погрешность приближения в ЦПТ.

Теорема 33 (Неравенство Берри – Эссеена).

В условиях ЦПТ для любого х Î R (то есть равномерно по х)

Замечание 21. Про постоянную С известно, что:

а) в общем случае С не превышает 0,7655 (И. С. Шиганов),

б) погрешность приближения наиболее велика, если слагаемые имеют распределение Бернулли, и С в этом случае не меньше, чем (C. G. Esseen, Б. А. Рогозин),

в) как показывают расчеты, можно смело брать в качестве С число 0,4 — даже для слагаемых с распределением Бернулли, особенно при малых n, когда и это значение постоянной оказывается слишком грубой оценкой.

Подробный обзор можно найти в монографии В.М.Золотарева «Современная теория суммирования независимых случайных величин», стр. 264– 291.

Продолжение примера 48. Проверьте, что для с. в. с распределением Бернулли

Поэтому разница между левой и правой частями приближенного равенства в примере 48 при и не превышает величины

так что искомая вероятность не больше, чем 0,0456+0,004. Уместно сравнить этот ответ с оценкой, полученной с помощью ЗБЧ в примере 48.

Пример 49.

Пусть — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией, сумму первых n случайных величин. При каких с имеет или не имеет место сходимость

Согласно ЗБЧ, последовательность сходится по вероятности (а, следовательно, и слабо) к . Слабая сходимость означает, что последовательность функций распределения сходится к функции распределения , если непрерывна в точке с (и ничего не означает, если разрывна в точке с). Но

есть функция распределения вырожденного закона и непрерывна в любой точке с, кроме . Итак, первый вывод: сходимость имеет место для любого с, кроме, возможно, . Убедимся, что для такой сходимости быть не может. Пусть . Согласно ЦПТ,

Аналогично, кстати, ведет себя и вероятность . Она тоже стремится к 1/2, а не к