13.2 Неравенства Чебышёва

Все неравенства в этом параграфе принято относить к одному классу, называемому «неравенствами Чебышёва». Следующее неравенство часто называют собственно неравенством Чебышёва, хотя в такой форме оно появилось впервые, видимо, в работах А. А. Маркова (например, Исчисление вероятностей, 1913 г.).

Теорема 27 (Неравенство Маркова).

Если , то для любого положительного x

Доказательство. Введем новую случайную величину ξx, называемую «срезкой» с. в. ½ξ½ на уровне x:

Для неё и,

1.

2.

Нам потребуется следующее понятие.

Определение 48. Пусть A — некоторое событие. Назовем индикатором события A случайную величину I(A), равную единице, если событие A произошло, и нулю, если A не произошло.

По определению, I(A) имеет распределение Бернулли с параметром p = P(I(A) = 1) = P(A), и ее математическое ожидание равно вероятности успеха p = P(A).

Случайную величину ξх можно представить в виде

Тогда

(11)

Вспомним, что , и оценим снизу согласно (11):

Итак, , что и требовалось доказать.

Следующее неравенство мы будем называть «обобщенным неравенством Чебышёва».

Следствие 12. Пусть функция g монотонно возрастает и неотрицательна на [0,¥]. Если , то для любого положительного х

В 1853 г. И. Бьенеме (I. Bienayme) и в 1866 г., независимо от него, П. Л. Чебышёв прямыми методами доказали следующее неравенство

Следствие 13 (Неравенство Чебышёва-Бьенеме). Если , то

В качестве следствия получим так называемое «правило трех сигм», которое формулируют, например, так: вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии, мала. Разумеется, для каждого распределения величина этой вероятности своя: для нормального распределения, например, эта вероятность равна 0,0027 — см. свойство 9. Мы получим верную для всех распределений с конечной дисперсией оценку сверху для «вероятности с. в. отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии».

Следствие 14. Если , то

13.3 Законы больших чисел

Определение 49. Говорят, что последовательность с. в. с конечными первыми моментами удовлетворяет закону больших чисел (ЗБЧ), если

(12)

Законами больших чисел принято называть утверждения об условиях, при которых последовательность с. в. «удовлетворяет закону больших чисел».

Выясним сначала, что означает и когда выполнен ЗБЧ для независимых и одинаково распределенных с.в.

Заметим, что если с. в. одинакого распределены, то математические ожидания у них одинаковы (и равны, например,), поэтому (12) можно записать в виде

Итак, законы больших чисел.

Теорема 28 (ЗБЧ в форме Чебышёва).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным вторым моментом имеет место сходимость:

ЗБЧ утверждает, что среднее арифметическое большого числа случайных слагаемых «стабилизируется» с ростом этого числа. Как бы сильно каждая с. в. не отклонялась от своего среднего значения, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине.

В дальнейшем мы увидим, что требование конечности второго момента (или дисперсии) связано исключительно со способом доказательства, и что утверждение остается верным если требовать существования только первого момента.

Доказательство. Обозначим через сумму первых n с. в., а их среднее арифметическое через . Тогда

Пусть ε > 0. Воспользуемся неравенством Чебышёва (следствие 13):

(13)

при , поскольку , по условию, конечна.

Следствие 15. Последовательность с. в. с конечными вторыми моментами удовлетворяет ЗБЧ, то есть

при выполнении любого из следующих условий:

а) если , то есть при ;

б) если независимы и , то есть

в) если независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию (ЗБЧ Чебышёва).

Теорема 29 (ЗБЧ в форме Хинчина).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным первым моментом имеет место сходимость:

Более того, в условиях теоремы 29 имеет место сходимость «почти наверное». Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел Я. Бернулли (1713). В отличие от доказанного через полтора столетия ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведение среднего арифметического с. в. с произвольными распределениями, ЗБЧ Бернулли — утверждение только для схемы Бернулли.