Курс лекций по теории вероятностейРефераты >> Математика >> Курс лекций по теории вероятностей
Раздел 3. Аксиоматика теории вероятностей
3.1 σ -алгебра событий
Пусть Ω — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств Ω, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.
То есть событиями мы будем называть не любые подмножества Ω, а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» Ψ. При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество Ψ подмножеств Ω было «замкнуто» относительно введенных в параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов Ψ) снова давало событие (то есть элемент Ψ ).
Определение 10. Множество Ψ, состоящее из подмножеств множества Ω, (не обязательно всех!) называется σ - алгеброй событий, или σ – алгеброй подмножеств Ω, если выполнены следующие условия:
(A1) Ω Î Ψ (σ -алгебра событий содержит достоверное событие);
(A2) если , то (вместе с любым событием σ -алгебра содержит противоположное событие);
(A3) если А1, А2… Î Ψ, то
(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ -алгебра содержит их объединение).
Условия (A1)–(A3) часто называют «аксиомами σ - алгебры».
Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества Ψ относительно других операций над событиями.
Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что Ψ не пусто, т.е. содержит хоть один элемент.
Свойство 1. Æ Î Ψ (σ -алгебра событий содержит невозможное событие).
Доказательство. По (A1), Ω Î Ψ, но Æ = Ω/ Ω = ¬ Ω Î Ψ в силу (A2).
Свойство 2. При выполнении (A1),(A2) свойство (A3) эквивалентно свойству (A4)
(A4) если А1, А2… Î Ψ, то
(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ -алгебра содержит их пересечение).
Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1),(A2) из (A3) следует (A4).
Если А1, А2… Î Ψ, то при всех i = 1, 2,… по свойству (A2) выполнено
Тогда из (A3) следует, что
и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит Ψ, то есть
Но, в силу формул двойственности,
Доказательство в обратную сторону выглядит совершенно аналогично.
Свойство 3. Если А, ВÎ Ψ , то А\ ВÎ Ψ
Пример 12. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}— пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножеств Ω являются σ -алгебрами (доказать!):
1. Ψ = { Ω , Æ} ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},Æ }— тривиальная σ -алгебра.
2. Ψ = { Ω , Æ,{1},¬{1}} ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},Æ,{1},{2, 3, 4, 5, 6} }.
3. Ψ = { Ω , A,¬A} ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},Æ, A,¬A }., где A — произвольное подмножество Ω (в предыдущем примере A ={1} ).
Итак, мы определили специальный класс Ψ подмножеств пространства элементарных исходов Ω, названный σ -алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам из Ψ снова дает множество из Ψ (не выводит за рамки этого класса). Множества АÎ Ψ мы и назвали «событиями».
Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то есть функции, которая каждому событию ставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру, заданную на σ -алгебре Ψ подмножеств Ω.
3.2 Вероятность как нормированная мера
Определение 11.
Пусть Ω — некоторое множество и Ψ — σ -алгебра его подмножеств. Функция μ: Ψ → R U {∞} называется мерой на (Ω, Ψ), если она удовлетворяет условиям:
(M1) Для любого множества А Î Ψ его мера неотрицательна: μ(А)≥ 0.
(M2) Для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств А1, А2… Î Ψ мера их объединения равна сумме их мер:
Определение 12.
Пусть Ω — некоторое множество и Ψ — σ -алгебра его подмножеств. Мера μ: Ψ → R называется нормированной, если μ(Ω) = 1. Другое название нормированной меры — «вероятность» или «вероятностная мера».
То же самое еще раз и подробно:
Определение 13.
Пусть Ω — пространство элементарных исходов и Ψ — σ -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью или вероятностной мерой на (Ω, Ψ), называется функция P Ψ → R, обладающая свойствами:
(P1) Для любого события А Î Ψ выполняется неравенство P(А)≥ 0;
(P2) Для любого счетного набора попарно несовместных событий А1, А2… Î Ψ имеет место равенство
(P3) Вероятность достоверного события равна единице: P(Ω) = 1.
Свойства (P1)–(P3) часто называют «аксиомами вероятности».
Определение 14.
Тройка (Ω, Ψ,Р), в которой Ω — пространство элементарных исходов, Ψ — σ -алгебра его подмножеств и P — вероятностная мера на Ψ, называется вероятностным пространством.
Выпишем свойства вероятности:
0.
1. Для любого конечного набора попарно несовместимых событий А1, А2… Î Ψ имеет место равенство