Статистическое определение вероятности удобно для введения аксиом.

1. Вероятность исходов испытаний положительна.

2. Сумма вероятностей всех исходов испытания равна единице e1,e2, .,emp1+p2+ .+p3=1. (1)

3. Вероятность случайного события равна сумме вероятностей исходов испытания, благоприятствующих этому событию, т.е. если е1, .,ек – множество всех исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, то

P(A)=p1+ .+pk. (2)

В качестве оснований для этих утверждений приводятся очевидные факты, связанные со статистическими испытаниями.

1. Статистическая частота исхода испытания положительна.

2. Сумма статистических частот всех исходов испытания в серии из N повторных экспериментов равна единице:

Здесь n1,n2, .,nm – число появлений исходов e1,e2, .,em в проведенной серии испытаний.

3. Статистическая частота случайного события равна сумме статистических частот исходов испытания, благоприятствующих этому событию.

Для закрепления материала необходимо рассмотреть решения следующих типов задач.

Пример 1. В некотором испытании возможны три исхода e1,e2,е3. Вероятность исхода е1 равна 0,3, а исхода е3 – 0,6. Чему равна вероятность появления исхода е2?

Решение.p2=1-p1-p3=1-0,3-0,6=0,1.

Пример 2. В некотором испытании возможны три исхода e1,e2,е3. В 1000 повторных испытаниях исход е1 появляется 350 раз, а исход е2 – в 40% испытаний. Оцените вероятность исходов испытания.

Решение.;

;

p31-0,35-0,4=0,25.

Пример 3. В испытании возможны четыре исхода: e1,e2,е3,е4. Их вероятности соответственно равны p1=0,2, p2=0,1, p3=0,4 и p4=0,3. Событию А благоприятствуют исходы e1 и е4, а событию В – исходы e2,е3 ие4. Чему равна вероятность событий А и В и вероятность, что события А и В произойдут в испытании вместе?

Решение. P(A)= p1+ p4=0,2+0,3=0,5;

P(B)= p2+ p3+ p4= 0,1+0,4+0,3=0,8;

P(A,B)= p4=0,3.

Пример 4. Чему равна вероятность извлечь наугад белый шар из урны, в которой лежат четыре белых и пять черных шаров?

Решение. Пусть событие А – извлечение белого шара. Тогда число всех исходов испытания m=9, число исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, равно 4 (l=4) и P(A)=

В курсе также рекомендуется рассказать школьникам о так называемом персоналитическом методе оценки вероятности, когда эксперты исходя из своей интуиции, дают личную оценку вероятности событий. Примерами таких оценок являются вероятностные прогнозы исходов соревнований, публикуемые в спортивных изданиях.

Такие прогнозы, как правило, не поддаются проверке, поскольку, например, невозможно провести большое число футбольных матчей между двумя командами в одинаковых условиях.

Обобщая все вышеизложенное, можно сказать, что в начале курса учащиеся должны:

1) познакомится с понятиями случайных исходов испытаний, научится определять множество исходов единичных испытаний и исходы, благоприятствующие наступлению конкретных случайных событий;

2) познакомится с понятиями статистической частоты и вероятности, с методом оценки вероятности через статистические испытания;

3) научится вычислять вероятности исходов и событий по формулам (1) и (2).

Далее изучаются серии из двух единичных испытаний: два подбрасывания монеты, последовательное извлечение двух шаров из урны, два выстрела по мишени и т.д. В рассматриваемом курсе серии испытаний называются совместимыми испытаниями, а их результаты – исходами совместных испытаний. Совместные испытания разделяются нанезависимые и зависимые. Эти понятия вводятся на простых примерах урновых испытаний с возвращением и без возвращения шара в урну.

В урне три шара с номерами 1,2 и 3. Из урны последовательно извлекают два шара. Эти испытания можно проводить двумя способами.

Ι способ: извлекают первый шар (первое испытание), записывают его номер, шар кладут обратно в урну. Затем шары перемешивают в урне и извлекают второй шар (второе испытание). В этом случае результаты испытаний никак не влияют друг на друга, и такие испытания называются независимыми.

ΙΙ способ: извлекают первый шар, но в урну его не возвращают, а сразу за ним извлекают второй шар. В этом случае исходы второго испытания зависят от того, какой исход имел место в первом испытании. Если, например, в первом испытании извлекли шар №2, то во втором испытании этот шар появится уже не может. Такие испытания называются зависимыми.

Зависимость испытаний друг от друга приводит к зависимости исходов и событий, которые могут произойти в этих испытаниях.

Если проводятся два независимых друг от друга испытания, и в первом испытании возможно наступление события А, а во втором – события В, то события А и В – независимые. В этом случае для них справедлива теорема умножения вероятностей:

P(A,B)=P(A)*P(B). (3)

Для примера снова обратимся к урновым испытаниям, описанным выше, с возвращением шара в урну.

Пусть событие А – первым достали шар №1.Это событие связано с первым испытанием и его вероятность равна

Пусть событие В – вторым достали шар №2. Это событие связано со вторым испытанием и его вероятность также равна

Первое и второе испытания независимые, поэтому события А и В – независимые, и вероятность, что они произойдут вместе, согласно формуле (3), равна

Если же проводятся зависимые испытания, и второе испытания зависит от первого испытания, то событие В зависит от события А. В этом случае для события В вводится условная вероятность и теорема умножения вероятностей принимает вид:

P(A,B)=P(A)* (4)

Таким образом, в урновых испытаниях без возвращения шара в урну событие В(вторым достали шар №2) зависит от события А(первым достали шар №1), а вероятность рассчитывается по формуле (4).

Формулы (3) и (4) позволяют вычислять вероятности исходов совместных испытаний. Эти исходы представляют собой возможные комбинации исходов единичных испытаний, записанные в определенном порядке.

Вероятность любого события, которое может произойти в совместных испытаниях, равна сумме вероятностей всех комбинаций, которые благоприятствуют этому событию. А это означает, что вероятностные задачи на совместные испытания можно сводить к построению множества исходов этих испытаний и вычислению вероятностей исходов по формулам (3) и (4). Если все исходы испытаний и их вероятности известны, то найти вероятность интересующего события не составляет труда. В настоящем курсе учащиеся учатся определять множество исходов совместных испытаний, строя таблицы исходов и вероятностные графы.