1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Рис. 1.

Тогда доля игрока А будет равна сумме членов найденной строки, начиная от единицы, причем количество слагаемых равно числу партий, недостающих игроку В (3), а доля игрока В равна такой же сумме, но с количеством слагаемых, равном числу партий, недостающих игроку А (2). Выписываем строку, в котором находятся пять чисел. Это будет 1, 4, 6, 4, 1. следовательно, ставку нужно разделить в отношении 11:5. при таком решении ставка делится пропорционально вероятностям выиграть всю ставку для игроков А и В.

То есть, правило Паскаля состоит в следующем : пусть игроку А до выигрыша всей игры не хватает m партий , а игроку В – n партий, тогда ставка должна делиться между игроками в отношении .

Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостает одного очка, а двум другим (В и С) недостает по два очка. Как справедливо разделить ставки?

Решение. Перебор всех возможных случаев можно представить таблицей.

При рассмотрении такой таблицы Паскаль допустил неточность в рассуждениях, считая, что из 27 возможных исходов бесспорно благоприятствуют игроку А лишь 13, а исходы пятого, одиннадцатого, девятнадцатого столбцов благоприятствуют сразу и игроку А и игроку В (аналогичные исходы девятого, пятнадцатого, двадцать четвертого столбцов благоприятствуют игроку А и игроку С). Поэтому доли игроков в этих случаях следует брать с половинным весом. В результате Паскаль ошибочно предлагал делить ставку в отношении 16: вместо 17:5:5.

Задачи о гаданиях.

По преданию, когда – то в сельских местностях России среди девушек существовало гадание. Одна из подруг зажимала в руке шесть травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу, а другая связывала эти травинки попарно между собой сверху и снизу. Если при этом все шесть травинок оказывались связанными в одно кольцо, то это должно было означать, что девушка в текущем году выйдет замуж.

Задача (для самостоятельного решения).

Какова вероятность того, что травинки при завязывании наудачу образуют кольцо?

Ответ. 8/15.

Приложение 2

История развития теории вероятностей

Начало систематического исследования задач, относящимся к массовым случайным явлениям, и появление соответствующего математического аппарата относятся к XVII веку. В начале XVII века знаменитыйфизик Галилей уже пытался подвергнуть научному исследований ошибки физических измерений, рассматривая их как случайные и оценивая их вероятности. К этому же времени относятся первые попытки создания общей теории страхования, основанной на анализе закономерностей в таких массовых случайных явлениях, как заболеваемость, смертность, статистика несчастных случаев и т. д. Необходимость создания математического аппарата, специально приспособленного для анализа случайных величин, вытекала и из потребностей обработки и обобщения обширного статистического материала во всех областях науки.

Однако теория вероятностей как математическая наука сформировалась, в основном, не на материале указанных выше задач: эти задачи слишком сложны; в них законы, управляющими случайными явлениями, проступают недостаточно отчетливо и затушеваны многими осложняющими факторами. Необходимо было сначала изучить закономерности случайных явлений на более простом материале. Таким материалом исторически оказались "азартные игры". Эти игры с незапамятных времен создавались рядом поколений именно так, чтобы в них исход опыта был независим от поддающихся наблюдению условий опыта, был чисто случайным. Само слово "азарт" (фр. "lehasard") означает "случай". Схемы азартных игр дают исключительные по простоте и прозрачности моделей случайных явлений, позволяющие в наиболее отчетливой форме наблюдать и изучать управляющие ими специфические законы; а возможность неограниченно повторять один и тот же опыт обеспечивает экспериментальную проверку этих законов в условии действительной массовости явлений. Вплоть до настоящего времени примеры из области азартных игр и аналогичные им задачи на "схему урн" широко употребляются при изучении теории вероятностей как упрощенной модели случайных явлений, иллюстрирующие в наиболее простом и наглядном виде основные законы и правила теории вероятностей.

Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Гюйгенса (1629-1695) в области теории азартных игр. В этих работах постепенно сформировались такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены их основные свойства и приемы их вычисления. Непосредственное практическое применение вероятностные методы нашли прежде всего в задачах страхования. Уже с конца XVII векастрахование стало производится на научной математической основе. С тех пор теория вероятностей находит все более широкое применение в различных областях.

До конца XVII века наука так и не подошла к введению классического определения вероятности, а продолжала оперировать только с числом шансов, благоприятствующих тому или иному событию. В 30 – е годы XVIII столетия классическое понятие вероятности стало общеупотребимым.

Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей – так называемый закон больших чисел, а также в трактовке Бернулли “ Искусств предположений “ присутствуют уже обе концепции вероятности – классическая и статистическая, обе они изложены не очень четко, но существенно то, что они уже введены в рассмотрения и использования.

Еще до Якова Бернулли многие отмечали как эмпирический факт ту особенность случайных явлений, которую можно назвать " свойством устойчивости частот при большом числе опытов". Было неоднократно отмечено, что при большом числе опытов, исход каждого из которых является случайным, относительная частота появлений каждого данного исхода имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь к некоторому специальному числу – вероятности этого исхода. Например, если много разбросать монету, относительная частота появления герба приближается к; при многократном бросании игральной кости частота появления грани с пятью очками приближается к и т. д. Яков Бернулли - простейшая форма закона больших чисел – устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления; при достаточно большом числе опытов можно с практической достоверностью ожидать сколь угодно близкого совпадения частот с вероятностью.

Однако уже в первой половине XVIII века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применения и возникают ситуации, когда оно не действует, а потому необходимо его расширение. Таким толчком послужили работы французского естествоиспытателя Ж. Бюффона ( 1707 – 1788 ), в которой он сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил ее решение.