при

и

при

а) б) в)

Рис. 7.

Наконец, в третьем решении мы бросаем на удачу точку внутрь круга и спрашиваем себя о вероятности попадания внутрь некоторого меньшего концентрического круга (рис. 7, в).

Различие постановок задач во всех трех случаях совершенно очевидно.

3) Ученик.Задача Бюффона. Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 2а. На плоскость наудачу брошена игла длины 2l (l< а). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Решение. Обозначим через x расстояние от центра до ближайшей параллели и через – угол, составленный иглой с этой параллелью. Величины x и полностью определяют положение иглы. Всевозможные положения иглы определяются точками прямоугольника со сторонами a и . Из рис. 8 видно, что для пересечения иглы с параллелью необходимо и достаточно, чтобы

Искомая вероятность в силу сделанных предположений равна отношению площади заштрихованной на рис. 9 области к площади прямоугольника

Заметим, что задача Бюффона является исходным пунктом для решения некоторых проблем теории стрельбы, учитывающих размеры наряда.

Рис. 8. Рис. 9.

Полученная формула была использована для опытного определения приближенного значения числа . Таких опытов с бросанием иглы было проведено довольно много. Мы приведем результаты лишь некоторых из них:

Так как из полученной нами формулы следует равенство

то при большом числе бросаний n приближенно

где m – число происшедших при этом пересечений.

Заметим, что в результате Фокса и Лаццарини заслуживают малого доверия. Действительно, в опыте Лаццарини значение получилось с шестью точными знаками после запятой. Изменение числа пересечений ( числа m ) на единицу меняет по меньшей мере четвертый десятичный знак, если n меньше 5000. В самом деле ( ).

4) Учитель.В XX веке интерес к геометрической вероятности не ослабел, а вырос, поскольку, помимо чисто математического интереса, они приобрели и серьезное прикладное значение. Схема геометрических вероятностей успешно применяется в астрономии, атомной физике, биологии, кристаллографии.

Современное развитие теории вероятностей характерно всеобщим подъемом интереса к ней и резким расширением круга ее практических применений. За последние десятилетия теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся наук, теснейшим образом связанную с потребностями практики и техники.

5. Итоги урока. Учитель обобщает изученный материал:

Замечание 1. Приведенные определения для вычисления геометрической вероятности в начале урока (формула (5)) являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область g—часть области G, равна

Р = mesg/mesG.

Замечание 2. В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

6. Постановка домашнего задания.

Задание. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение. Площадь кольца (фигуры g) Sg=

Площадь большого круга (фигуры G)

Искомая вероятность Р=

3.5 Основы теории вероятностей. Урок – консультация

На уроках данного типа проводится целенаправленная работа по ликвидации пробелов в знаниях учащихся, концентрируется внимание учащихся на главных и существенных моментах изучаемой темы, вырабатываются умения учиться, обобщается и систематизируется материал. Учитель на таких занятиях анализирует подробно ответы всех учеников, такой анализ повышает интерес школьников к работе, подводит каждого из них к пониманию пробелов или достижений, к необходимости работать над преодолением недостатков. В зависимости от содержания и назначения выделяют тематические и целевые уроки-консультации. Тематические проводятся либо по каждой теме, либо по наиболее значимым, сложным вопросам программного материала. Целевые консультации входят в систему подготовки, подведения итогов самостоятельных и контрольных работ, зачетов, экзаменов. Это могут быть уроки работы над ошибками, уроки анализа какой-то творческой деятельности или подготовки учащихся к семинару. На консультациях сочетаются различные формы работы с учащимися: коллективные, групповые и индивидуальные.