Итак, под преобразованием в геометрии понимают, например, в случае плоскости отображение всей плоскости на себя, при котором каждая точка X отображается в единственную точку , а каждой точке соответствует единственная точка У.

Понятие не может быть передано учащимся в готовом виде, они должны получить его сами, взаимодействуя с относящимися к нему известными понятиями. Определение задает как бы точку зрения — ориентировочную основу — для оценки понятий, с которыми взаимодействует обучаемый. Так, получая определение понятия преобразования, ученик может анализировать различные преобразования с точки зрения наличия или отсутствия в них тех признаков, которые содержатся в определении. При этом, например, он может использовать аналогию между понятием движения в геометрии и равномерного прямолинейного движения предметов (твердых тел) в механике. Такая реальная работа по оценке различных предметов с точки зрения, заданной определением, и создает постепенно в голове учащихся идеальное понятие как обобщенный и абстрактный образ.

Обязательная программа не предусматривает широкого изучения различных свойств геометрических преобразований. Вопрос использования преобразований при решении геометрических задач предлагается вынести, как вариативный компонент, на факультативные занятия и внеклассную работу.

Геометрические преобразования являются обобщением понятия о функции, и поэтому позволяют «обозреть с одной точки зрения, как отдельные части геометрии, так и их взаимные связи» (Ф. Клейн) – это значит, что изучение геометрических преобразований открывает возможность подчинить единой идее – идее функциональной зависимости – всю школьную математику. Большая общность геометрических преобразований позволяет значительно упростить доказательство многих теорем. Также изучение преобразований вооружает учащихся способами (методами) решения задач на построение, которые являются одним из средств развития геометрического мышления учащихся.

Ф. Клейн (1849-1925) знаменит своей общей концепцией геометрии, в основу которой положил учение об «автоморфизмах» соответствующей геометрической теории. Хотя точка зрения Ф. Клейна не исчерпывает всего богатства современной геометрии, – в ее рамки не укладывается ряд современных геометрических теорий, – теоретико-групповой подход к построению геометрии охватывает практически все геометрические теории, изучаемые в высшей школе. Однако групповая точка зрения не была реализована в практике массового школьного обучения.

Приобщая школьников к основным идеям геометрии, можно доступно изложить им основные положения группового подхода, которые составляют вводную часть знаменитой лекции Ф. Клейна «Эрлангенская программа» (1872), примерно так.

«Что такое геометрия? Наука о геометрических свойствах фигур. Какие же свойства следует называть геометрическими? Те, что не зависят от положения, занимаемого фигурой в пространстве, от ее абсолютных размеров и, наконец, от ориентации (под этим понимают то свойство расположения, которое является источником различия между данной фигурой и ее зеркальным изображением). Отсюда вытекает, что геометрические свойства фигуры не изменяются от параллельных переносов и поворотов, от преобразований подобия, от зеркального отражения и от всех преобразований, которые могут быть составлены из перечисленных. Отметим, что все они в совокупности образуют группу. Можно сказать, геометрические свойства – это те, которые не изменяются в результате любого преобразования из группы перечисленных выше.

Будем говорить теперь о произвольной группе преобразований. Как обобщение геометрии тогда получится следующая задача. Дано пространство и в нем группа преобразований. Нужно исследовать те свойства фигур, которые не изменяются при преобразованиях этой группы. Иными словами, требуется развить теорию инвариантов этой группы. Это — общая задача, включающая в себя не только обыкновенную геометрию, но и новейшие геометрические теории. Так говорил Клейн. С тех пор каждую геометрию, порождаемую некоторой группой преобразований, называют клейновской геометрией.

Так, например, школьная евклидова геометрия порождена группой преобразований подобия, как отметил сам Клейн. Как одну из других клейновских геометрий было бы любопытно изложить неевклидову геометрию Лобачевского или Римана».

Итак, понятие преобразования как основной операции, охватывающей не только математические, но и другие, более широкие отношения, является важным основанием для развития геометрического мышления учащихся.

С понятием преобразования связывают различные представления у школьников. Одни из них опираются на представление перемещения некоторого материального «твердого» тела. Такую точку зрения принято называть механической или динамической, связанной с представлениями о силе, вызывающей движение (перемещение). Другая точка зрения, кинематическая, опирается на более отвлеченное представление о движении, не связанное с представлениями о силе, вызывающей это движение. На него опираются в школьном курсе геометрии при доказательстве признаков равенства треугольников наложением, при установлении равенства отрезков и углов и т.п. Наконец, принятая сейчас в школьном обучении точка зрения на преобразование опирается на теоретико-множественный подход к геометрии, несмотря на то, что ввиду методологической сложности он отсутствует в современных школьных учебниках.

Понятие геометрического преобразования неразрывно связано с развитием функционального мышления учащихся. Геометрическое преобразование трактуется с теоретико-множественной точки зрения как отображение (функция). Как известно, понятие функции — одно из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанных с реальной действительностью. В нем ярко воплощены изменчивость и динамичность реального мира, взаимная обусловленность реальных объектов и явлений. Именно в понятии функции в определенной степени отображается бесконечное многообразие явлений реального мира.

В настоящее время существует несколько вариантов определения понятия функции. При одном из них под числовой функцией понимается отображение одного числового множества в другое, что адекватно сочетается с определением геометрического преобразования как точечного отображения плоскости (пространства) на себя.

Ф. Клейн считал понятие функции центральным понятием всей математики. По его мнению, оно должно играть руководящую роль в курсе средней школы, должно быть выяснено учащимися очень рано и пронизывать все преподавание алгебры и геометрии. С точки зрения Ф. Клейна, всякое научное знание не может быть усвоено школьниками без обращения к наглядности. Поэтому введение понятия функции с помощью геометрических образов, в геометрической форме, в частности с помощью элементарных геометрических преобразований, является наиболее целесообразной в школьном обучении.

Условия для введения понятий функции, геометрического преобразования создает теоретико-множественная концепция как основа школьного курса. В этой связи очень коротко остановимся на проблеме использования теории множеств в методике школьного обучения геометрии.