3. Критерий Михайлова.

Устойчивость замкнутой САУ определяется характеристическим полиномом:

Согласно принципу аргумента для устойчивой системы

При изменении w от до вектор Dз(jw) на комплексной плоскости опишет своим концом кривую, которая называется ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ или ГОДОГРАФОМ вектора Dз(jw):

Можно показать, что функция u(w) четная, а n(w) нечетная. Поэтому то есть характеристическая кривая симметрична относительно действительной оси при w и -w. Отсюда следует , что угол поворота радиуса-вектора Dз(jw) на полусегментах (, 0] и [0, ) одинаков. Поэтому можно ограничится построением характеристической кривой для положительных w, тогда

Формулировка критерия Михайлова.

an=1+k - в стат. сист.; Выбирают k на 30% меньше критического.

an=k - в астат. сист.

Критерий Михайлова при инженерных расчетах используется сравнительно редко.

По критериям Гурвица, Рауса и Михайлова можно судить об устойчивости САР как в замкнутом, так и в разомкнутом состоянии.

С помощью критерия Михайлова, если система неустойчива, можно определить, сколько корней будет находиться в правой полуплоскости.

Если для устойчивой системы то для неустойчивой системы,

Например, система 4-го порядка, кривая Михайлова которая обозначена (1) на рисунке, имеет два корня с положительной вещественной частью, так как

4. Критерий Найквиста.

Критерий базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи САУ, так как по виду частотных характеристик разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Критерий Найквиста нашел широкое применение в инженерной практике по следующим причинам:

1. Устойчивость системы в замкнутом состоянии исследуют по частотной передаточной функции ее разомкнутой цепи, а эта функция, чаще всего состоит из простых сомножителей коэффициентами являются реальные параметры системы, что позволяет выбрать их из условий устойчивости.

2. Для исследования устойчивости можно использовать экспериментально полученные частотные характеристики наиболее сложных элементов системы (объект регулирования, исполнительный орган), что повышает точность полученных результатов.

3. Исследовать устойчивость можно по ЛЧХ, построение которых несложно.

4. Удобно определять запрос устойчивости.

1. Система, устойчивая в разомкнутом состоянии.

Этот случай соответствует системам автоматического управления без астатизма.

Пусть введем вспомогательную функцию заменим p®jw, тогда

Согласно принципа аргумента изменение аргумента D(jw) и Dз(jw) при 0<w<¥ равно Тогда то есть гедограф W1(jw) не должен охватывать начало координат.

Для упрощения анализа и расчетов сместим начало радиуса-вектора из начала координат в точку (-1, j0), а вместо вспомогательной функции W1(jw) используем АФХ разомкнутой системы W(jw).

Формулировка критерия №1

Примеры.

Отметим, что разность числа положительных и отрицательных переходов АФХ левее точки (-1, j0) равно нулю.

2. Система, имеющая полюсы на мнимой оси в разомкнутом состоянии.

Характеристический многочлен разомкнутой системы имеет нулевые и(или) чисто мнимые корни, (имеются нулевые полюса передаточной функции разомкнутой системы), остальные корни лежат в левой полуплоскости, то есть в разомкнутом состоянии система является нейтрально-устойчивой.

m £ n + n - соответствует астатической системе, n - порядок астатизма.

В этом случае АФХ разомкнутой системы будет иметь разрыв непрерывности в точке w=0. В этой точке модуль а фаза делает скачек на 180° (при n=1). Для получения определенности в ходе АФХ необходимо отнести нулевой корень знаменателя передаточной функции W(p) либо к левой, либо к правой полуплоскости корней. Первое является более удобным, так как при этом все корни знаменателя W(p) будут расположены в левой полуплоскости.

Обойдем корень l=0 по полуокружности бесконечно малого радиуса так, чтобы корень остался слева. При движении по этой полуокружности против часовой стрелки независимая переменная p=jw меняется по закону где p®0 представляет собой радиус полуокружности, а j - аргумент, меняющийся от -p/2 до +p/2. При этом передаточная функция W(p) может быть представлена в виде где а аргумент (-j) меняется в пределах от +p/2 до -p/2.

Таким образом, во время движения по полуокружности бесконечно малого радиуса передаточная функция может быть представлена в виде вектора бесконечно большой длины, поворачивающего на комплексной плоскости ПО ЧАСОВОЙ СТРЕЛКЕ на угол, равный p (от p/2 до -p/2), что соответствует полуокружности бесконечно большого радиуса.