Лекции по автоматике 2
Рефераты >> Радиоэлектроника >> Лекции по автоматике 2

3. Пусть характеристическое уравнение имеет пару комплексных сопряженных корней остальные корни вещественные отрицательные. В этом случае

Если вещественная часть комплексных корней отрицательна, то - затухающая функция.

4. Если характеристическое уравнение имеет нулевой корень тогда

Если все остальные корни имеют отрицательные вещественные части или отрицательны, то

5. Если характеристическое уравнение имеет кратные корни, то при m кратных вещественных корней l1,

Составляющая yсв(t) для кратных корней стремится к 0 при lкратн.<0. Если остальные корни с отрицательными вещественными частями или отрицательны, то yсв.(t) - сходящаяся функция.

Вывод: в устойчивых системах автоматического регулирования все корни характеристического уравнения должны лежать в комплексной плоскости корней слева от мнимой оси.

Эти выводы справедливы для ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ уравнений, полученных в результате отбрасывания всех членов разложения в ряд Тейлора, содержащих отклонения координат в степени выше первой.

Линеаризованные уравнения названы А.М. Ляпуновым уравнениями первого приближения.

Теоремы А.М. Ляпунова.

Теорема 1.

Если определяющее (характеристическое) уравнение имеет корни только с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, независимо от членов выше первого порядка малости.

Теорема 2.

Когда среди корней определяющего (характеристического) уравнения находятся такие, вещественные части которых положительные, невозмущенное движение неустойчиво.

Примечания:

1. Если среди корней характеристического уравнения имеется два и более нулевых корня, то система неустойчива.

2. Если один корень нулевой, а все остальные находятся в левой полуплоскости, то система нейтральна (так бывает, если в системе одно интегрирующее звено вне контура обратной связи).

3. Если 2 корня мнимые сопряженные, а все остальные в левой полуплоскости, то система на колебательной грани устойчивости.

Пример.

Требуется определить устойчивость замкнутой системы.

Характеристическое уравнение

Механические примеры систем:

1) есть трение - система устойчива.

Устойчивая система может находится в положении устойчивого равновесия.

2) трения нет - система на грани устойчивости.

3) система неустойчива, если шарик просто передвинуть; если выходным параметром будет скорость и есть трение, то система усточивая, т.е. от регулируемого параметра зависит классификация сист. по виду устойчивости.

4) система неустойчива.

Таким образом, чтобы определить устойчива ли линейная система, необходимо проанализировать характеристическое уравнение (знаменатель передаточной функции замкнутой системы, приравнять нулю), т.е. нужно найти корни характеристического уравнения.

Устойчивость - внутреннее свойство системы, т.е. не зависит от внешнего воздействия. Решать характеристические уравнения высокого порядка трудно, потому разработаны критерии устойчивости.

Критерии устойчивости САУ.

Критерий устойчивости - это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.

Алгебраические критерии устойчивости.

В 1877г. Раус установил условие отрицательности всех действительных частей корней характеристического уравнения:

Необходимое (но не достаточное) условие устойчивости САУ есть положительность коэффициентов характеристического уравнения системы.

1. Критерии устойчивости Гурвица.

Критерий разработан в 1895г.

Пусть определено характеристическое уравнение замкнутой системы: уравнение приводим к виду, чтобы a0>0.

Составим главный определитель Гурвица по следующему правилу:

по главной диагонали записываются коэффициенты уравнения, начиная со второго по последний, столбцы вверх от диагонали заполняются коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз от диагонали - коэффициентами с убывающими индексами. Остальные места заполняются нулями. В случае отсутствия в уравнении какого-либо коэффициента и вместо коэффициентов с индексами меньше 0 и больше n пишут нуль.

Выделим диагональные миноры или простейшие определители в главном определителе Гурвица:

Формулировка критерия:

Системы первого и второго порядка устойчивости, если все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля.

Система находится на грани устойчивости, если и все диагональные миноры положительны: в этом случае (апериодическая граница устойчивости).

Если , а и все остальные диагональные миноры положительны, то система на границе устойчивости (колебательная граница устойчивости).  

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при положительном коэффициенте характеристического уравнения a0 главный определитель Гурвица и все его диагонали миноры были положительны.

Если хотя бы один из коэффициентов или один из определителей отрицательны, то система устойчива. Если один из коэффициентов либо один из определителей равны нулю, то система на грани устойчивости.

Критерий Гурвица удобен для исследования устойчивости систем третьего и четвертого порядков, когда известны параметры системы.


Страница: