vдр = eEt/2m

где t = 1/n - среднее время между столкновениями электрона с решеткой, а n - частота столкновений электрона с ионами решетки.

В этом случае плотность тока в проводнике запишется так

j = nevдр = ne2 Et/2m = sE (27)

где е - заряд электрона, m - масса электрона, n - концентрация носителей тока (для металлов это электроны), s = ne2t/2m - проводимость металла

Из классической теории следует, что t ~ (T)-1/2, а опыт показывает, что t ~ (T)-1 (проводимость обратно пропорциональна температуре Т, а сопротивление металла растет пропорционально температуре).

Выкладки которые приводят к формуле для проводимости одинаково пригодны как при при классической трактовке движения электронов проводимости в металлах, так и при квантовомеханической трактовке. Различие этих двух трактовок заключается в следующем. При классическом рассмотрении предполагается, что частота столкновений электронов с ионами решетки пропорциональна хаотической скорости движения электронов в металле, которая напомним ~ (T)1/2 [v=Ö(3kT/m)]. В квантовой механике как мы теперь знаем средняя кинетическая энергия электронов не пропорциональна температуре Т ( или, что то же самое v~ (T)1/2), а практически от температуры не зависит. Электроны занимают энергетические уровни согласно статистике Ферми.

Согласно квантовой механике электрон уменьшает свою дрейфовую скорость при рассеянии на узлах решетки ( рассеяние электронов на фононах решетки). Точный квантовомеханический расчет дает следующую картину ( см. рис.11) изменения подвижности электронов (при фиксированном значении Е уровня на котором находится электрон).

При очень никих температурах ( участок 1) электроны передвигаются между узлами кристалла , не испытывая столкновений, т.е. не рассеиваются, так как узлы решетки практически неподвижны относительно положения равновесия. Увеличение температуры кристалла (участок 2) приводит к резкому возрастанию числа и амплитуды колеблющихся ионов ( возрастает количество фононов решетки). Передвижение электронов замедляется. При дальнейшем повышении температуры рассеяние продолжает возрастать и в этом диапазоне температур подвижность пропорциональна Т-1(участок 3).

Очень примитивно зависимость Т-1 можно объяснить так. Очевидно, что частота столкновений электронов с фононами будет пропорциональна числу фононов при данной температуре. Ранее мы выводили формулу среднего числа фононов в зависимости от температуры <n> = 1/(ehw/kT -1) (cм.(26)), откуда легко увидеть, что при kT>>hw, <n>~T и , соответственно, t = 1/n ~ T-1 и s ~ Т-1.

Полупроводники.

Одна из наиболее интенсивно изучаемых в последние годы областей физики твердого тела связана с физическими свойствами и применением полупроводников. Полупроводники отличаются от металлов и диэлектриков в двух отношениях. Прежде всего само название “полупроводники” говорит о том, что проводимость этих веществ при обычных температурах занимает промежуточное место между проводимостью металлов и изоляторов. Кроме того , проводимость полупроводников с повышением температуры, так же как и у диэлектриков, возрастает. Однако как и в металлах, в полупроводниках электрический ток определяется дрейфом электронов.

Рис. 4 иллюстрирует различия между проводниками, полупроводниками и диэлектриками. При обычной температуре энергии теплового движения достаточно для возбуждения небольшого числа электронов. Эти электроны перепрыгивают узкую энергетическую зону между заполненной и незаполненной зонами в полупроводнике и обеспечивают небольшую электронную проводимость. С повышением температуры быстро растет число возбужденных электронов, преодолевших энергетическую щель. Увеличение числа носителей с лихвой перекрывает увеличение их рассеяния, так что в целом проводимость полупроводников растет, а сопротивление полупроводников падает с ростом температуры ( см. формулу(27)).

При тепловом возбуждении электрона, находящегося в валентной зоне, он освобождает состояние в валентной зоне и переходит в зону проводимости, образуя там заполненное состояние. Незаполненное состояние, или вакансия, образующееся при этом в валентной зоне, называется дыркой. На рис.12 показаны электрон, перешедший в зону проводимости и образованная им дырка. В присутствии внешнего электрического поля ближайший к дырке электрон в валентной зоне попадает в нее, оставляя при этом новую дырку , которую заполнит следующий соседний электрон, и т.д. Таким образом дырка будет перемещаться в направлении противоположном направлению движения электронов , и вести себя как электрон проводимости с положительным зарядом.

Cобственная проводимость полупроводников возникает в результате перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости. При этом в зоне проводимости появляется некоторое число носителей тока - электронов, занимающих уровни вблизи дна зоны, одновременно в валентной зоне освобождается такое же число дырок.

Распределение электронов по уровням валентной зоны и зоны проводимости описывается функцией Ферми-Дирака . Наглядно это показано на рис.6 .

Расчет дает, что у собственных полупроводников отсчитанное от валентной зоны значение уровня Ферми (Ef ) равно (см.главу2)

Ef = DE/2 ,

где DЕ - ширина запрещенной зоны.

Из статистической механики следует, что вероятность перехода электрона в результате теплового возбуждения с верхнего края валентной зоны в зону проводимости пропорциональна ехр{- DE/kT}, где DE - ширина запрещенной зоны. Для германия при комнатной температуре (kT=0.026 эВ) имеем DE/kT » 29. Несмотря на то, что у германия и кремния при комнатной температуре имеется небольшое число электронов в зоне проводимости, они проводят ток несравненно лучше, чем такой диэлектрик как алмаз, у которого DE »7 эВ. При температуре Т » 30К и кремний и германий также становятся диэлектриками.

В полупроводнике электрон, попадающий за счет теплового возбуждения в зону проводимости, в конечном счете столкнется с дыркой и возвратится назад в валентную зону. При этом скорость уменьшения числа электронов проводимости пропорциональна N-N+, где N- - число термически возбужденных электронов, а N+ - число дырок. Как уже говорилось, скорость рождения пар пропорциональна ехр{- DE/kT}. В тепловом равновесии эти скорости одинаковы, так что , N-N+~ ехр{- DE/kT}. В чистом полупроводнике N- = N+, и следовательно N- ~ ехр{- DE/2kT} Поскольку проводимость пропорциональна числу N- , она будет быстро увеличиваться с ростом температуры.

Пример. Кремниевый образец нагревают от 0 до 10оС. Во сколько раз возрастет его проводимость? (в 2.28 раза)

Пример показывает, что при повышении температуры на каждые 10о сопротивление образца из чистого кремния уменьшается вдвое. Поэтому чистый кремний можно использовать в качестве очень чувствительного электронного датчика температуры. Такое устройство называется термистором.