Однако в отличие от положений классической статистической физики, в которой частицы различимы ( частицу можно отличить от всех подобных ей частиц , например по траектории движения). Это естественно должно изменить характер статистики. При этом оказывается, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статистикам.

Частицы с полуцелым спином подчиняются принципу Паули, по которому на данном энергетическом уровне могут находится не больше двух частиц, различающихся направлением спинов. Распределение по энергиям таких частиц называется распределением Ферми-Дирака.

Для частиц с целым спином или нулевым ( а к таким частицам относятся ядра с четными массовыми и зарядовыми номерами, a-частицы, некоторые молекулы) статистическое распределение по энергии имеет иной вид и называется распределением Бозе - Эйнштейна

Различие между статистиками Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна и их отношение к классической статистике можно уяснить на следующем частном примере размещения трех одинаковых частиц по трем состояниям ( см.таблицу).

С точки зрения классической статистики, допускающей индивидуальное распознавание частиц, каждое из шести распределений, начиная с четвертого и кончая девятым, может быть реализовано тремя способами. Десятое распределение может осуществляться шестью способами. По Больцману каждому из этих индивидуальных распределений приписывается одинаковый статистический вес, т.е. вероятность нахождения системы в данном состоянии пропорционально числу состояний с данной энергией ( эргодическая гипотеза). Поэтому вероятности отдельных распределений с классической точки зрения не одинаковы. Например вероятность четвертого распределения в три раза больше первого и в два раза меньше последнего. ( вероятность первого 1/27, вероятность последнего 6/27, а вероятность всех остальных 3/27)

С точки зрения квантовой теории одинаковые частицы, как бы неразличимы, например , о четвертом распределении опыт может дать только следующее: две из трех частиц находятся на первом уровне, одна на втором. В квантовой статистике расчету подвергаются не сами частицы, а их возможные состояния. По Бозе-Эйнштейну всем числовым распределениям приписывается один и тот же статистический вес ( в рассмотренном примере 1/10). Если же частица имеет полуцелый спин и подчиняется принципу Паули, то из всех десяти распределений возможно только одно - последнее. Вероятность последнего равна единице - это единственное возможное распределение трех частиц с полуцелым спином по трем состояниям.

Для понимания различия между классической и квантовой статистиками разберем основные положения статистических рассмотрений. Обратимся сначала к статистике Больцмана, закон распределения по энергиям частиц газа, находящегося в стационарном состоянии. Из состояний с энергиями от Е до Е+dE выделим группу близких состояний с импульсами в пределах интервала dp около какого либо импульса р. Если обозначить число возможных состояний в этой группе через dZ, а число частиц, находящихся в состояниях этой группы - dN, то отношение dN/dZ называют плотностью заполнения этих состояний частицами. В однородном и изотропном газе плотность заполнения, очевидно, будет зависеть только от энергии Е, соответствующей этим состояниям, но не от направления импульса р, т.е.

dN/dZ = f(E)

Функция f(E) и называется функцией распределения частиц по энергиям. Механизмом устанавливающим некоторое распределение, могут быть парные взаимодействия (“соударения”) частиц газа друг с другом. В результате каждого соударения у пары взаимодействующих частиц происходит мгновенное изменение импульсов от начальных значений р1 у первой и р2 у второй частицы, имевшихся до соударения, до некоторых р1’ и p2’ после него. При этом, вообще говоря, соответственно изменятся и энергии частиц от некоторых значений, равных Е1 и Е2, до значений E1’ и E2’ . Закон сохранения энергии требует, чтобы выполнялось соотношение:

E1 + E2 = E1’ + E2’ (2)

Число соударений dn при этом будет, во-первых, пропорционально числам частиц dN1 и dN2, находящихся в начальных состояниях, во-вторых, пропорционально также числам конечных состояний dZ1’ и dZ2’, в которые могут переходить соударяющиеся частицы. Последнее является следствием “эргодической гипотезы”, согласно которой все состояния с данной энергией равновероятны.