Такие большие значения частот осцилляторов легко понять. Из классической теории мы знаем, что w = Ö(k/m), где k - коэффициент “упругости”, характеризующий силу взаимодействия атомов в кристалле, m ~ масса атома. Если в эту формулу подставить соответствующие значения, то мы и получим такие значения частот. Вопрос состоит в том, имеет ли эта величина реальный физический смысл частоты колебаний настоящего атома в настоящем твердом теле. Из рис.8 видно, что модель Эйнштейна слишком резко уменьшает теплоемкость вблизи нуля.

Теория Дебая.

Ясно, что модель Эйнштейна является упрощенной и изменив параметр w можно вообще говоря улучшить теорию. Противоречие состоит в том, что для теории Эйнштейна важна именно большая частота (hw>>kT), в то время как для улучшения согласия с экспериментом частота должна быть уменьшена (см.рис.8).

Дебай предложил несколько иную теорию твердого тела. Он предположил, что атомы в кристалле это колеблющиеся осцилляторы, которые не являются независимыми, а связаны между собой. Смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещение других соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных друг с другом атомов, обладающих 3N степенями свобод.

Рассмотрим одно интересное свойство связанных осцилляторов. Представим себе, что произойдет, если мы свяжем два в точности одинаковых маятника очень слабой пружиной (рис.9). Если мы одновременно отклоним оба маятника в одном направлении - каждый на один и тот же угол от положения равновесия, - а затем отпустим их, они будут колебаться с одинаковой частотой причем пружинка не будет оказывать на них никакого действия, так как она не деформируется при движении маятников в фазе.

Однако если мы отклоним маятники в противоположном направлении, а затем снова отпустим их пружинка растянется и возникшая при этом сила прибавится к силе, возвращающей маятник в положение равновесия. Под действием добавочной силы маятники будут возвращаться к положению равновесия быстрее, а затем при сжатии пружины произойдет такое же изменение возвращающей силы (частота колебаний увеличится). Этот пример показывает, что если маятники связаны, то появляются добавочные колебательные частоты кроме собственных колебательных частот не связанных маятников.

Аналогичнло цепочка с большим числом одинаковых связанных маятников может колебаться с большим числом различных частот, равным числу маятников. При этом некоторые из этих частот будут выше, а некоторые ниже собственной частоты колебаний маятников. На рис.10 представлены возможные типы колебаний натянутой упругой струны и их аналог в системе шести одинаковых равномерно распределенных масс (модель кристалла). Чистый тон называют основным; другие частоты носят названия гармоник (на рисунке их пять). Фактически речь идет о стоячих волнах. Из приведенного рис. видно, что других частот у шести маятников быть не может.

Идея Дебая состояла в том, что он заменил набор идентичных эйнштейновских осцилляторов, не связанных друг с другом, тем же числом связанных осцилляторов. Одному из них он приписал частоту основного колебания всего твердого тела в целом. Остальным осцилляторам он приписал частоты, кратные основной. Другими словами каждому нормальному колебанию кристаллической решетки соответствует стоячая волна, устанавливающаяся в объеме кристаллического тела. Действительно, из-за связи между атомами колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в результате чего возникает упругая волна, которая отражаясь от границы кристалла складывается с прямой волной образуя стоячую волну.

Для того, чтобы получить выражение для теплоемкости, мы должны определить число стоячих волн dN, частоты которых заключены в интервале от w до w+dw. Определим это выражение для трехмерного кристалла, рассмотрев сначала одномерную стоячую волну.

Пусть вдоль оси х бегут во встречных направлениях две плоские волны, возникающие в результате отражения от стенок в точках х=0 и х=а. Уравнения волн имеют вид:

x1= А Cos(wt-kx) x2 = Acos(wt + kx +a) (22)

(Фаза первой волны выбрана равной нулю за счет выбора начала отсчета времени). Мы знаем, что в этом случае в области 0<x<a возникает стоячая волна, причем в зависимости от реальных условий на границах области бывают либо узлы, либо пучности. Рассмотрим случай когда на границах наблюдаются узлы, хотя это не будет иметь значения для конечного вывода. Из уравнений (22) видно, что в случае, когда на границе х=0 наблюдается узел уравнения должны выглядеть так:

x1= А Cos(wt-kx) x2 = Acos(wt + kx +p)

и ,соответственно,

x= x1 +x2 = А Cos(wt-kx) + Acos(wt + kx +p) = 2А Сos(kx +p/2)Cos(wt +p/2)

Легко убедиться, что при х=0 x=0, т.е. на левой границе - узел. Для того, чтобы и на правой границе (при х=а) был узел, необходимо, чтобы ка= np (n=1,2,3 ), т.е. модуль волнового вектора должен иметь значения

к= np/a

Нас интересует количество возможных состояний в диапазоне волновых векторов ( или что тоже самое частот, поскольку w =кv, где v- скорость волны) от к1 до к2. Из полученного выражения легко получить DN = n2 - n1 =a/p( к2 - к1) = (a/p )Dk = (a/pv )Dw . При этом мы предполагаем, что дисперсия отсутствует и v = Const для всех к. Окончательно мы можем записать, что в одномерном случае dN = (a/pv)dw.

Для перехода к трехмерному случаю, предположим, что кристалл имеет форму параллелепипеда со сторонами а,b и с. тогда

dN(w) = dN(k) = dN(kx,ky,kz) = (abc/p3)dkxdkydkz = (V/p3) (1/8) 4pk2dk = (Vw2/2p2v3)dw (23)

При выводе мы использовали: V=abc - объем кристалла, k =w/v , и число стоячих волн, у которых модуль волнового вектора лежит в пределах от к до k+dk, равно количеству точек , попадающих в пределы (1/8) шарового слоя радиуса k и толщины dk. (Здесь рассуждения аналогичны тем, которые мы проводили в разделе 2, когда вычисляли количество энергетических уровней в металле)

Выражение (23) можно переписать для числа возможных частот колебаний, приходящихся на единицу объема:

dNw = (w2/2p2v3)dw

Подчеркнем, что теперь под dNw мы будем понимать число стоячих волн , приходящихся на единицу объема.

Полученная формула не учитывает возможных видов поляризации волны. В твердом теле вдоль некоторого направления могут распространяться три разные волны с одним и тем же значением w, отличающиеся направлением поляризации: одна продольная и две поперечных с взаимно перпендикулярными направлениями колебаний. В соответствии с этим

dNw = (3w2/2p2v3)dw

Выше мы упомиали о том, что существует максимальная частота колебаний решетки, связанная с общим количеством атомов в решетке. Значение максимальной частоты wm можно найти приравняв полное число колебаний числу степеней свободы, равному 3n ( n - число атомов в единице объема кристалла ( напомним, что мы проводим расчет для единицы объема):