Если повторить это рассмотрение для случая четырех ям, то очевидно, при сближении ям будет образована зона из четырех энергетических уровней и т.д. Этот результат нетрудно обобщить на случай “n” ям , расположенных друг за другом, при этом в окрестности исходного уровня должна образоваться зона из “n” энергетических уровней. Увеличение числа “n” не приводит к изменению ширины зоны при условии, что расстояние между ямами остается тем же самым. В твердом теле типичные значения “n” оказываются порядка 1023, так что образованную уровнями зону можно считать сплошной.

Величина расщепления для разных уровней разная. Сильнее возмущаются уровни, заполненные в атоме внешними электронами. Уровни, заполненные внутренними электронами, возмущаются мало. На рис.2 показано расщепление уровней, как функция расстояния r между атомами. Из схемы видно, что возникающее в кристалле расщепление уровней, занятых внутренними электронами, очень мало. Заметно расщепляются лишь уровни, занимаемые валентными электронами. Такому же расщеплению подвергаются и более высокие уровни, не занятые электронами в основном состоянии атома.

В зависимости от конкретных свойств атомов равновесное расстояние между соседними атомами в кристалле может быть либо типа r1, либо типа r2. При расстоянии типа r1 между разрешенными зонами, возникшими из соседних уровней атома, имеется запрещенная зона, энергетическая зона, не содержащая энергетических уровней.

При расстоянии типа r2 происходит перекрывание соседних зон. Число уровней в такой слившейся зоне равно сумме количеств уровней, на которые расщепляются оба уровня атома. Иногда такую объединенную зону называют гибридной зоной.

Рассмотрим образование энергетических зон в кристалле на в кристалле на примере кристалла натрия ( Na: 1s22s22p63s1 ) В изолированных атомах Na (рис. 3а) при r>>a (а - расстояние между атомами в кристалле) атомы имеют одинаковые наборы дискретных энергетических уровней. При сближении атомов происходит перекрытие всех электронных оболочек, но в наибольшей степени - оболочек 3s. Энергетически это сближение проявляется в уменьшении высоты и ширины барьера, и в результате величина энергии электронов уровня 3s становится выше энергетического барьера, при этом все 3s электроны имеют возможность переходить от одного атома к другому , а волновая функция таких электронов оказывается “размазанной” по всему кристаллу. Именно такие электроны и называются свободными. При этом (как уже говорилось выше) сам энергетический уровень расщепляется, образуется энергетическая зона и, в соответствии с принципом Паули, каждый электрон занимает свой уровень.

Свойства твердых тел различаются вследствие особенностей энергетических зон в данном кристалле и различного количества электронов в зонах. Разрешенную зону, возникшую из того уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома, называют валентной зоной. При абсолютном нуле валентные электроны попарно заполняют нижние уровни валентной зоны (принцип Паули). Более высокие разрешенные зоны будут от электронов свободны. В зависимости от степени заполнения валентной зоны электронами и ширины запрещенной зоны возможны три случая, изображенные на рис.4. Если электроны заполняют валентную зону не полностью или имеет место перекрывание зон (левая часть рисунка), достаточно сообщить электронам совсем небольшую энергию, чтобы перевести их на более высокие уровни, где электроны могут ускоряться электрическим полем и приобретать дополнительную скорость в направлении, противоположном направлению поля. Таким образом , кристалл с подобной схемой энергетических уровней будет представлять собой металл. В случае металла валентная зона будет одновременно и зоной проводимости.

Как было сказано ранее, при сближении n атомов каждое атомное состояние будет превращаться в зону, содержащую n соответствующих энергетических уровней. Чем ближе атомы расположены друг к другу, тем шире зона. Для металлической связи характерно столь близкое расположение потенциальных ям, что зона, в которой находится внешний электрон перекрывается с другими зонами. В металле в этом случае имеется неограниченное число свободных состояний, которое может занять электрон.

В некоторых ковалентных кристаллах, например в кремнии и германии, расстояние между атомами таково, что зоны содержащие валентные электроны (валентные зоны) не перекрываются, а валентная зона полностью заполнена. Оказывается, что у кремния заполненная валентная зона и следующая за ней более высокая пустая зона разделены запрещенной зоной шириной 1.09 эВ. В случае германия ширина соответствующей запрещенной зоны составляет 0.72 эВ. Для того, чтобы через кремний и германий мог протекать электрический ток в пустой зоне (зоне проводимости) должно иметься некоторое количество электронов. При комнатной температуре количество электронов, попавших в зону проводимости за счет теплового движения невелико. Проводимость у германия и кремния значительно ниже, чем у обычного металла. Поэтому эти кристаллы называют полупроводниками. Если же ширина запрещенной зоны кристалла слишком велика , так что теплового движения недостаточно для ее преодоления, то такой кристалл называется диэлектриком (см рис.4). При абсолютном нуле чистые кристаллы диэлектриков и даже полупроводников обладали бы бесконечно большим сопротивлением.

2. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА.

Статистические методы расчета применяются в задачах с большим числом частиц. Несмотря на успехи классической статистической физики, все же в ряде вопросов следствия из классической статистики оказались несовпадающими с опытными данными. Одно из наиболее резких несоответствий между опытом и расчетом относится к теории теплоемкости, где оставалась необъясненной до конца температурная зависимость теплоемкости твердых тел. Вторая неудача статистической теории относится к электропроводности металлов. Эти неудачи потребовали пересмотра статистических расчетов в свете квантовых представлений. Такой пересмотр привел к созданию статистики, согласованной с теорией квантов - так называемой квантовой статистики, в которой сохранились достижения классической статистики и которая оказалась свободной от указанных выше противоречий.

Квантовая статистика - это раздел статистической физики, исследующий системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющимся законам квантовой механики. Из классической статистической физики мы знаем как распределены скорости молекул газа при данной температуре ( распределение Максвелла) или как должны распределяться частицы в потенциальном поле при данной температуре ( распределение Больцмана).