Для “классических” частиц вероятность находится в любом из состояний не зависит от наличия или отсутствия других частиц в этих состояниях. Поэтому число состояний, в которые возможны переходы, для классических частиц просто равно полным числам конечных состояний. Отсюда число соударений будет равно:

dn = А1,2®2,1 dN1 dN2 dZ1’ dZ2’

где коэффициент А1,2®2,1 зависит от типа соударения.

Очевидно, что если возможны прямые соударения, то возможны и обратные соударения. Для многих типов парных соударений показано, что коэффициенты прямых и обратных соударений одинаковы, т.е. А1,2®2,1 = А2,1®1,2 .

По принципам теоретической физики, определяющим условия в состоянии статистического равновесия, число каких либо процессов в стационарном состоянии системы должно равняться числу обратных процессов. Поэтому dn = dn‘и отсюда легко получить

dN1 dN2 dZ1’ dZ2’= dN1’ dN2’ dZ1 dZ2

или

(dN1/dZ1)(dN2/dZ2) = (dN’1/dZ’1)(dN’2/dZ’2) (3)

и соответственно

f(E1)f(E2) = f(E1’)f(E2’)

где пары значений энергии Е1, Е2 и E1’, E2’ - любые, удовлетворяющие закону сохранения энергии (2). Поэтому можно записать, что

f(E1) f(E2)= Const, если E1 + E2 = Const.

Отсюда

ln f(E1) + ln f(E2) = Const, если E1 + E2 = Const.

Если продифференцировать оба равенства, то мы найдем

[1/ f(E1)][d f(E1)/dE1] dE1 +[1/ f(E2)][d f(E2)/dE2] dE2 =0 если dE1 + dE2 = 0

Умножая второе уравнение на произвольную константу l и складывая с первым уравнением, получим

{[1/ f(E1)][d f(E1)/dE1] +l} dE1 +{[1/ f(E2)][d f(E2)/dE2] + l} dE2 =0

Если постоянная l подобрана так, что выражение в первых скобках{} равно нулю, то и выражение во второй скобке {} тоже равно нулю при том же значении l.

Таким образом мы имеем, что f(E) для любых Е удовлетворяет соотношению

[1/ f(E)][d f(E)/dE] = -l,

откуда

dN/dZ = f(E) = C e-lE (4)

Легко заметить, что при l = (1/kT) мы получаем и распределение Максвелла по скоростям (E=mv2/2) и распределение Больцмана в поле сил тяжести . В общем случае это распределение называют распределением Максвелла - Больцмана. На рис.5а приведены схематичные графики функций распределения Максвелла для двух разных температур.

Если мы рассматриваем не классические частицы, а квантовые (условия таковы, что частицы проявляют квантовые свойства), то при расчете числа соударений для частиц Ферми следует считать, что оно пропорционально числам частиц dN1 и dN2 в начальных состояниях и числам не всех, а лишь не занятых конечных состояний частиц

dZ1’* = dZ1’ - dN1’ и dZ2’* = dZ2’ - dN2’

так как принцип Паули запрещает переход частиц в dN1’ и в dN2’ уже занятых состояний из полного числа их равного dZ1’ и dZ2’. В соответствие с этим равенство (3) будет иметь вид

(dN1/dZ1*)(dN2/dZ2*) = (dN’1/dZ’1*)(dN’2/dZ’2*)

Закон сохранения энергии естественно будет выполняться и для фермионов. Аналогичные рассуждения , которые привели нас к формуле (4) дадут

dN/dZ* = dN/(dZ-dN) = C e-lE

откуда легко получить

fф(E) = (dN/dZ) = 1/ (C1 elE + 1)

где С1 величина не зависящая от Е и определяется из условия нормировки.

Величина l может быть определена следующим образом. Если для всех возможных значений энергии Е число частиц dN много меньше числа состояний dZ, т.е. если (dN/dZ) <<1, то dZ-dN ® dZ и все формулы должны перейти в формулы Максвелла, поэтому и параметр l = (1/kT) и окончательно мы можем записать

fф(E) = 1/ (C1 eE/kT + 1)

Этот закон распределения по энергиям и называется распределением Ферми-Дирака. Это один из основных законов квантовой статистики. Обычно величину С1 представляют в виде е - Еf/kT и в этом случае

fф(E) = 1/ (e(E-Еf) /kT + 1) (5)

Величину Еf называют химическим потенциалом системы частиц или энергией Ферми. Если Еf>0, то эта величина имеет простой физический смысл. Из (5) видно, что при Е=Еf плотность заполнения состояния dN/dZ = fф(E)= 1/2. Следовательно, Еf есть та энергия, для которой плотность заполнения состояний равна половине. При Е>Еf, очевидно, dN/dZ<1/2, а при E<Ef плотность заполнения dN/dZ>1/2 (см.рис.5б). При Т=0 Ef - это максимальная энергия заполненного уровня.

Распределение Бозе-Эйнштейна ( для системы частиц с целым или нулевым спином) можно получить аналогичным образом в предположении, что число тождественных бозонов в данном состоянии может быть любым. Оно запишется следующим образом :

fБ(E) = 1/ (e(E-Еo) /kT - 1)

Из приведенных формул легко увидеть, что при условии e(E-Еo) /kT>>1, распределение Ферми-Дирака и распределение Бозе -Эйнштейна, переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана : f(E) =A e-E /kT , где A = eЕo /kT .

Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в металле.

Чтобы найти число частиц, находящихся в состояниях с энергиями от Е до Е+dЕ, необходимо знать число состояний dZ, соответствующее интервалу энергий dE. Найдем число состояний для интервала энергий dE для электронов в металле (Ферми - частицы).

В некотором приближении металл объемом V можно рассматривать как потенциальный ящик того же объема, содержащий N свободных электронов. Расчеты упростятся если считать, что кусок металла имеет форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами Lx, Ly, Lz. Состояние электрона будет определяться его энергией Е=р2/2m или тремя компонентами импульса р(рх,ру,рz). В свою очередь согласно формуле (1) для трехмерного ящика можно написать

Е = (p2h2/L22m) (nx2 +ny2 +nz2)

При этом электрон в таком ящике будет характеризоваться тремя квантовыми числами (nx ,ny, nz). Если по осям прямоугольной системы координат откладывать значения (nx ,ny, nz) то каждому электрону в этой координатной системе (пространство квантовых чисел) будет соответствовать одна точка. Так как (nx ,ny, nz) целые и положительные, то точки, соответствующие всем возможным состояниям электрона, образуют в той части пространства, где nx ,ny, nz>0, кубическую решетку с постоянной равной единице. Для состояний с некоторой энергией Е, в случае кубического куска металла (Lx= Ly= Lz) эти точки лежат на одной сферической поверхности в первом октанте этого простраства, радиус которой R = Ö (nx2 +ny2 +nz2) связан с энергией

R =(L/ph ) Ö(2mE)

Число точек, лежащих в пределах (1/8) шарового слоя от R до R+dR ( напомним, что каждой точке соответствует отдельный энергетический уровень) будут соответствовать количеству состояний с энергиями от Е до Е+dE. Поскольку осями системы координат являются фактически квантовые числа меняющиеся на единицу , то объем, приходящийся на одну точку ( или одно состояние) равен тоже единице. Поэтому число точек (состояний) находящихся в пределах рассматриваемого слоя численно равно (1/8) объема этого шарового слоя. Если учесть двоякую возможность ориентации спина в каждом состоянии ( т.е. удвоить количество возможных состояний), то мы получим: