dZ = (1/4) dV = pR2dR = (L/h )3 ( 2m)3/2 p -2 (1/2)E1/2 dE (6)

Напомним, что dN/dZ = fф (Е), поэтому для числа частиц находящихся на уровнях энергий в диапазоне от Е до Е+dE с учетом (5) и (6) можно записать:

dN = (L/h )3 (1/2) ( 2m)3/2 p -2 E1/2 dE / (e(E-Еf) /kT + 1) (7)

Если разделить обе части равенства (7) на объем металлического куска мы получим распределение Ферми по энергиям для концентрации свободных электронов в металлах n(E)

dn(E) = (1/h )3 (1/2) ( 2m)3/2 p -2 E1/2 dE / (e(E-Еf) /kT + 1) (8)

и при Т=0 (Е< Ef )

dn(E) = (1/h )3 (1/2) ( 2m)3/2 p -2 E1/2 dE (9)

Напомним, что в этих формулах dn(E) - концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале от Е до E+dE; m и Е - масса и энергия электрона; Еf - энергия Ферми.

При Т=0 легко вычислить энергию Ферми взяв интеграл от dn(E) из (9) в пределах от нуля до Ef

Ef = (h2/2m)(3p2n)2/3 (10)

где n(E) - концентрация электронов в металле. Как видно из формулы (10) энергия Ферми не зависит ни от формы ни от объема данного образца металла. Она зависит лишь от того, насколько плотно “упакованы” свободные электроны в металле.

Вырожденный электронный газ в металлах.

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся статистике Ферми -Дирака. Из распределения Ферми- Дирака следует, что при Т= 0 К функция распределения fф(Е) =1, если Еf>Е и fф(Е) =0, если Еf<E. График этой функции приведен на рис. 5b . В области энергий от 0 до Еf функция fф(Е) =1. При Е = Еf она скачкообразно меняется до нуля. Это означает, что при Т= 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния Е=Еf заполнены электронами, а все состояния с энергией большей Еf свободны. Следовательно Е0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны при Т= 0 К.

Работу выхода электронов из металла надо отсчитывать не от дна “потенциальной ямы”,как это делалось в классической физике, а от уровня Ферми, т.е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT<< Еf . При температурах T > Еf/k, поведение системы частиц описывается уже классическими законами. Сама температура То= Еf/k называется температурой вырождения, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле То ~ 104К, т.е. для всех температур , при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах отличных от нуля, функция распределения Ферми-Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области ( ~kT) в окрестности Еf. Это объясняется тем, что при T>0 небольшое число электронов с энергией близкой к Ef, возбуждается вследствие теплового движения и их энергия становится больше Ef . В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т~ 300К это примерно 10-5 от общего числа электронов.

Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в полупроводнике.

Используем статистику Ферми-Дирака для описания электронного газа в полупроводнике. Зонная диаграмма собственного полупроводника приведена на рис.4. Для того, чтобы получить для собственного полупроводника формулы аналогичные формулам (6) - (9) надо учесть, что плотность состояний в зоне проводимости Z(E) ( а именно она нас интересует) фактически определяется выражением (6) с учетом того, что уровнем для начала отсчета энергий должен быть выбран уровень Епр, соответствующий дну зоны проводимости. (см.рис.6). В этом случае

dZ(E)=(L/h )3( 2m)3/2p -2(1/2)(E-Епр)1/2dE (11)

и аналогично выражению (8) имеем

dn(E) = (1/h )3 (1/2)( 2m)3/2 p -2 (E-Епр)1/2 dE /(e(E-Еf) /kT + 1) (12)

Зная распределение электронов по энергиям в зоне проводимости полупроводника найдем концентрацию электронов проводимости проинтегрировав dn(E) из (12 ) в пределах от Епр до ¥ :

n = (1/h )3 (1/2)( 2m)3/2 p -2 ò (E-Епр)1/2 dE /(e(E-Еf) /kT + 1)

Ниже мы найдем Ef для полупроводников, а здесь лишь отметим, что ½E-Еf½/kT >>1) для энергий зоны проводимости и поэтому, пренебрегая единицей в знаменателе подинтегральной функции и сделав замену переменных x = (E- Eпр)/kT получим ( x меняется от 0 до ¥)

n = (1/h )3 (1/2)( 2mkT)3/2 p -2 e(Ef-Епр)/kT ò x1/2 e-x dx (13)

Интеграл в формуле (13) равен Öp/2 и поэтому имеем:

n(T) = Nc e(Ef-Епр)/kT (14)

где Nc=(1/h )3(1/4)( 2mkT/p)3/2 - так называемая эффективная плотность состояний электрона.

Аналогичное выражение можно получить для концентрации дырок в валентной зоне (см.подробнее в главе 4) В этом случае при расчете числа состояний ( аналог (11)) необходимо учесть, что эти состояния находятся в валентной зоне и взять начало отсчета энергии соответствующим образом. Расчет дает:

р(T) = Nv e-(Ef-Ев)/kT (15)

В собственном полупроводнике (без примесей) появление электрона в зоне проводимости приводит к появлению дырки в валентной зоне, причем n=p. Из (14) и (15) легко получить значение энергии Ферми для собственного полупроводника:

Ef =(Eпр + Ев)/2 + (kT/2) ln(Nv/Nc) (16) или

Ef =(Eпр + Ев)/2 + (3kT/4) ln(mp/mn) (17)

где mp и mn - эффективные массы электронов и дырок.

Поскольку в первом приближении эффективные массы электронов и дырок одинаковы, следовательно, в собственном полупроводнике уровень Ферми лежит посередине запрещенной зоны ( см. рис.6). Если принять, что ширина запрещенной зоны для полупроводников DE ~1эВ, то приближение ½E-Еf½/kT >>1, которое мы использовали, справедливо при нормальных температурах ( 1эВ » 11000 К). На рис.6 показаны функции f(E), Z(E) и N(E) для температуры Т=0 К и Т¹0 К.

3. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ.

Теплоемкость - количество теплоты, необходимое для увеличения температуры данной массы вещества на один градус. Дюлонг и Пти заметили, что большинство химических элементов, находясь в твердом состоянии, поглощает примерно одно и то же количество тепла для увеличения температуры на один градус. Это количество тепла не зависит от вида элемента при условии, что веса твердых тел, взятых для сравнения пропорциональны химическим атомным весам составляющих эти тела элементов, т.е. их молярная теплоемкость одинакова. Это говорит о том, что количество тепла, поглощаемое твердым телом зависит в первую очередь от числа атомов в нем и лишь в ничтожной степени определяется “сортом” этих атомов.

Дюлонг и Пти установили, что для нагревания одного моля вещества , находящегося в твердом состоянии, на один градус требуется 6 калорий (3R). Мы знаем, что для вещества, находящегося в газообразном состоянии для той же цели требуется всего лишь 3 (3/2R) калории. Это различие связано с тем, что атомы в твердом теле жестко связаны между собой и колеблются около своих положений равновесия и как при всяком колебательном движении кроме кинетической энергии они обладают еще и потенциальной энергией и поэтому для нагревания тела необходимо увеличивать и кинетическую и потенциальную энергию.