3n =òd Nw = ò (3w2/2p2v3)dw= (wm3/2p2v3)dw , откуда wm = v(6p2n)1/3

Здесь и во всех следующих интегралах в этой главе (если это не оговорено особо) итегрирование ведется по всем возможным частотам от 0 до wm .

Интересно оценить наименьшую длину стоячей волны возбуждаемой в кристалле:

lмин = 2p/кмах =2pv/wm~(2p)/(6p2n)1/3 ~ 2/(n)1/3 ~2d

где d- расстояние между соседними атомами в кристалле. Этот результат согласуется с тем, что волны, длина которых меньше удвоенного расстояния между атомами, не имеют физического смысла ( см.рис.10).

Наша задача определить теплоемкость, а это значит, что надо вычислить внутреннюю энергию кристалла:

U =ò <e(w)>d Nw ,

где <e(w)> - среднее значение энергии колебания частоты w. Подставив в эту формулу значение средней энергии квантового осциллятора, получим:

U = (9n/wm3) ò [ hw/2 + hw/( exp{hw /kT} -1)] w2 dw = Uo + (9n/wm3) ò [hw3/[( exp{hw /kT} -1)] dw (24)

Здесь Uo =3n(3/8)hwm - энергия нулевых колебаний кристалла

Теплоемкость единицы объема кристалла равна:

C= dU/dT = =(9n/wm3) ò [hw4 exp{hw /kT} /[( exp{hw /kT} -1)2kT2] dw (25)

Величину q, определяемую условием: hwm = kq, называют характеристической температурой Дебая. По определению: q= hwm /k.

Температура Дебая указывает для каждого вещества ту область, где становится существенным квантование энергии колебаний. Если ввести переменную х = hw/kT, то выражение для теплоемкости примет вид:

С= 9nk(T/q)3ò [exx4/(ex-1)2]dx

(пределы интегрирования от 0 до xm = hwm /kT=q/T )

При T<<q верхний предел xm®¥. Тогда интеграл будет некоторым числом и теплоемкость С оказывается пропорциональной Т3. Эта приближенная зависимость известна как закон Дебая. При низких температурах этот закон выполняется очень хорошо ( см.рис.8).

При T>>q , т.е. при hwm /kT формулу можно упростить положив ex ~ 1+x. Тогда выражение для внутренней энергии: U = Uo +(9n/wm3) ò kTw2dw. А для теплоемкости закон Дюлонга и Пти : С = 3nk.

Теория, столь убедительно объясняющая теплоемкости большинства твердых тел, дает нам право говорить о ней как о теории нормального поведения твердых тел. Если теплоемкость того или иного твердого тела отклоняется от такого нормального поведения, то это отклонение следует изучить и найти его причину. Отметим такие отклонения :

1. Теория Дебая плохо применима к твердым телам с более сложной структурой кристаллической решетки. Это естественно, поскольку спектр колебаний такой решетки оказывается чрезвычайно сложным.

2 . Теория Дебая не учитывает наличие свободных электронов у металлов, которые должны вносить свой вклад в теплоемкость тела.

3. Теория Дебая не описывает свойства ферромагнетиков.

Попробуем себе представить, что происходит при нагревании электронного газа. Поглощение тепла электронным газом сводится к тому, что часть электронов переходит в состояния с более высокой энергией. Но при этом электрон с низкой энергией нельзя перевести путем теплового возбуждения ни в одно из состояний с более высокой энергией, уже занятое парой других электронов.

Иначе говоря, электронная система будет поглощать тепло лишь за счет переходов электронов в незанятые состояния. Но эти переходы могут происходить только в состояния с очень высокой энергией, которые находятся выше верхней границы занятых уровней энергии. Поэтому тепловая энергия может возбудить лишь те электроны, которые находятся непосредственно вблизи границы занятых уровней (вблизи уровня Ферми). По этой причине электроны в металле могут поглотить лишь пренебрежимо малое количество тепла. Электронный газ практически не дает вклада в теплоемкость металла при обычных условиях; в основном тепло поглощает колеблющаяся атомная решетка.

При очень низких температурах на фоне решеточной теплоемкости ( а она вблизи абсолютного нуля пропорциональна Т3) может быть выделена небольшая теплоемкость, пропорциональная температуре, которую можно приписать электронному газу.

Теплоемкость электронного газа может быть отделена от решеточной также при очень высоких температурах - там, где теплоемкость за счет колебаний атомов в соответствии с зпконом Дюлонга-Пти приобретает постоянное значение и далее не меняется стемпературой. Тогда теплоемкость электронного газа по-прежнему возрастающая пропорционально температуре, обеспечит небольшой положительный наклон общей кривой теплоемкости по отношению к линии постоянного значения, даваемого законом Дюлонга-Пти.

Фононы.

Выше мы установили, что внутренняя энергия кристалла может быть представлена как сумма энергий различных колебаний решетки: U = S(ni +1/2)hwi

За вычетом энергии нулевых колебаний любое колебание частоты wi складывается из порций величины ei = hwi. Эта порция (квант) энергии называется фононом. Фонон во многих отношениях ведет себя так, как если бы он был частицей с энергией ei = hwi и импульсом p = hk, где k - волновой вектор соответствующего колебания. Однако в отличие от обычных частиц (электронов, протонов, фотонов и т.п.) фонон не может возникнуть в вакууме - для своего возникновения и существования фонон нуждается в некоторой среде. Подобного рода частицы называют квазичастицами. Таким образом фонон является квазичастицей.

В случае теплового равновесия среднее число фононов <ni> частоты wi определяется так:

< (ni + 1/2) hwi> = (1/2)hwi + hwi/ ( ehwi/kT -1)

Отсюда: <ni> = 1/ ( ehwi/kT -1) (26)

Из формулы вытекает, что в кристалле может одновременно возбуждаться неограниченное число одинаковых фононов. Следовательно принцип Паули на фононы не распространяется. Отметим, что фотоны - кванты электромагнитного поля, находящиеся в состоянии теплового равновесия со стенками полости , также подчиняются этому распределению.

Таким образом колебания кристаллической решетки можно представить как фононный газ, заключенный в пределах образца кристалла, подобно тому как электромагнитное излучение можно представить как фотонный газ, заполняющий полость. Формально оба представления весьма схожи - и фотоны, и фононы подчиняются одной и той же статистике. Распределение это представляет частный случай распределения Бозе-Эйнштейна, которому подчиняются частицы, обладающие целочисленным ( в частности нулевым) спином. Частицы, подчиняющиеся этой статистике называются бозонами.

4. проводимость металлов И полупроводников.

Металлы.

При рассмотрении классической теории электропроводности металлов мы получили простое выражение для проводимости. В отсутствии внешнего поля электроны движутся хаотически и поэтому их дрейфовая скорость vдр равна нулю. При наложении электрического поля Е на каждый электрон действует сила -еЕ, возникает направленный дрейф электронов (электрический ток).

При соударении электрона с ионом решетки приобретенная электроном дополнительная энергия передается иону и , следовательно, скорость vдр в результате соударения становится равной нулю. Под действием поля электрон получает постоянное ускорение, равное eE/m, и к концу пробега его скорость упорядоченного движения достигнет в среднем значения