Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)

,

и мы получаем равенство (20).

Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится

ОпределениеI.4.

Средние Фейера - это средние вида

, где , , - ядро Дирихле,

, - ядро Фейера.

Отметим, что при ядро Фейера обладает следующими свойствами: а) , ; б) ,

Мз которых вытекает, что для и

,

Также известно [3], что средние Фейера равномерно сходятся к .

Пусть f(t) - непрерывная на [-p, p] функция, для которой

и

Так как средние Фейера равномерно сходятся к и

, то существует тригонометрический полином

(24)

такой, что

(25)

Пусть . Рассмотрим для каждого d>0 такую функцию , что

,

(функцию можно построить следующим образом: взять замкнутое множество с мерой , достаточно близкой к 2p, и положить

).

Так как (здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых d>0 функция удовлетворяет соотношениям

(26)

При этом , если . Тогда средние Фейера функции h(t) имеют вид

и при достаточно большом N

(27)

Положим

, (28)

Так как h(t) - действительная функция, то , n=0,±1,±2,¼. Поэтому

и . (29)

Определим искомую функцию g(t) :

Ясно, что , а из (24) и (28) следует, что при n<0, т.е.

(30)

В силу соотношений (25), (27) и (29) для

,

а для

.

Наконец, для любого

.

Таким образом, функция g(t) обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1 , а вместе с ней и теорема 3 доказаны.

Теорема 4.

Пусть функция . Тогда для п.в. существует предел

(31)

При этом

1) , , ;

2) ;

3) .

Доказательство:

Нам достаточно доказать, что для каждой функции найдется функция такая, что имеет место 1). Действительно, если , то тем более и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в. . При этом и по теореме 1

. Наконец, из 1) следует, что