Страница
3
Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции . Пусть ,
, - произвольное число. Обозначим через
,
, область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки
к окружности
, и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при
вырождается в радиус единичного круга). Для
положим
,
,
где - интеграл Пуассона функции
. Функция
называется нетангенциальной максимальной функцией для
.
Тут же мы доказываем теорему об оценке : если
(
),
, то
и
.
Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.
Во второй главе два параграфа.
В §II.1 рассматривается пространство . Как ранее отмечалось, оно уже, чем
. Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству
. Здесь вводится понятие атома: действительная функция
называется атомом, если существует обобщенный интервал
такой, что
а) ; б)
; в)
.
Атомом назовем также функцию ,
. Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из
, либо множество вида
(
).
Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция тогда и только тогда, когда функция
допускает представление в виде
,
, где
,
, - атомы. (*)
При этом , где inf берется по всем разложениям вида (*) функции
, а с и С
- абсолютные константы.
Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.
В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству , легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств
и
. Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение
: пространство ВМО есть совокупность всех функций
, удовлетворяющих условию
, (91)
где , а sup берется по всем обобщенным интервалам
. А затем доказываем теорему о том, что
.
Глава I.
Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах ,
и
§I.1.Интеграл Пуассона.
Пусть ¦(x) , g(x) , xÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x) будем обозначать свертку
f*g(x) =
dt
Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и
cn ( f*g ) = cn ( f )× c-n ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , . ( 1 )
где { cn ( f )} - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn (f)= -i n tdt , n = 0, ±1, ±2,¼
Пусть ¦ Î L1 (-p, p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию
¦r ( x ) = n ( f ) r| n | ei n x , x Î [ -p, p ] . ( 2 )
Так как для любых x Î [ -p, p ], n = 0, ±1, ±2,¼, а ряд
сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций
стремятся к нулю при
), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r (х) равны cn ( fr ) = cn (f)× r| n | , n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это значит, что ¦r ( x ) можно представить в виде свертки :