, . (54)

Допустим теперь, что () - нули некоторой функции с , причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим

,

Функция () аналитична в круге радиуса больше единицы, и , если . Следовательно, и согласно п.3 теоремы 4 . Но тогда

и

, (55)

Так как , , то из (55) вытекает сходимость произведения , а значит, и сходимость ряда (51).

ОпределениеI.6.

Пусть - аналитическая в круге функция и , () - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также - кратность нуля функции при . Произведение

(56)

называется произведением Бляшке функции .

Справедлива

Теорема 6.

Каждая функция представима в виде

,

где не имеет нулей в круге и

, ,

а - произведение Бляшке функции .

Доказательство.

Пусть , () - нули функции ( или, что то же самое, нули функции ) Тогда, как отмечалось выше, - аналитическая в круге функция и

, . (57)

При этом функция также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и .

Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):

, , .

Так как для любого , то по теореме 4

и

, если .

Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что () равномерно по , мы получим

, ,

т.е. , .

Теорема 6 доказана.

ОпределениеI.7.

Пусть , , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим

, ,

где - интеграл Пуассона функции . Функция называется нетангенциальной максимальной функцией для .

В силу теоремы 2

для п.в. . (58)