Атомические разложения функций в пространстве ХардиРефераты >> Математика >> Атомические разложения функций в пространстве Харди
.
Тогда для
.
Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора . Используя его, найдем такую последовательность функций ,что
,
( 14 )
для п.в. .
Согласно (13) при xÎ (-p,p)
Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p, p] и (14)
из последней оценки получим
при r®1.
Теорема 2 доказана.
Замечание1.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p] , когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности пути.
§I.2.Пространства Hp.
Определение I.3.
Пространство - совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма . (15)
Пусть комплекснозначная функция удовлетворяет условиям (16)
тогда функция F (z) , определенная равенством
(17)
принадлежит пространству , причем
. (18)
Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства мы имеем
(*)
С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=¥ в силу теоремы 2)
. Отсюда (**)
Учитывая (*) и (**) , получим (18).
Ниже мы докажем, что любую функцию можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется
Теорема 3.
Пусть комплекснозначная функция j (t) имеет ограниченную вариацию на [ -p,p] и
(19)
Тогда j (t) абсолютно непрерывна на [-p,p].
Замечание2.
В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации j (t) . Мы говорим, что
j (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл
определен для каждой непрерывной на [-p,p] функции f (t) , а также если
- характеристическая функция замкнутого множества .
Доказательство теоремы 3.
Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества ,
,
(20)
Для этой цели убедимся, что справедлива
Лемма 1.
Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем и
. Тогда для всякого , существует функция вида
, (21)
обладающая свойствами:
а) ;
б) ; (22)
в) .
Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.
Пусть , где - конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для
.
Очевидно, что - открытое множество и .
Рассмотрим для данных функцию , построенную в лемме 1 для числа e и множества . Тогда нетрудно проверить[3], что если , а , то разность
. (23)