Теорема 9.

, т.е.

а) если , и для произвольной функции рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):

, , , - атомы*) (93)

и положить

, (94)

то сумма ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на ;

б) произвольный ограниченный линейный функционал на представим в виде (94), где . При этом

(С, С1 - абсолютные постоянные).

Лемма 2.

Пусть функция такова, что для любого обобщенного интервала найдется постоянная , для которой

,

где М не зависит от . Тогда и .

Доказательство.

Для любого обобщенного интервала мы имеем

,

откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.

Следствие 2.

Если , то и

. (95)

Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что

для произвольного обобщенного интервала .

Доказательство теоремы 9.

а) Пусть . Положим

Так как всегда , то, учитывая равенства

, ,

,

мы с помощью следствия 2 находим

, (96)

Допустим, что ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение

, , (97)

где функции являются атомами и , и при

, , . (98)

Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при

.

Отсюда, учитывая, что функции , , по модулю не превосходят суммируемой функции и для п.в. , мы получим, что

.

Таким образом, равенством

, , (99)

определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в линейном многообразии (плотность функций из в вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции частные суммы разложения (70) сходятся к по норме , и, очевидно, принадлежат пространству ). Поэтому функционал можно единственным образом продолжить на все пространство :

, . (100)

Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции ряд (94) сходится и его сумма равна . Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме к :

.