Атомические разложения функций в пространстве ХардиРефераты >> Математика >> Атомические разложения функций в пространстве Харди
Установим, что для произвольной функции величина не превосходит (по порядку) значения максимальной функции *) в точке х, т.е.
, . (59)
Нам понадобится
утверждение 3.
а) если функция , то для любого
;
б) если функция , то ,
где - постоянная, зависящая только от числа р.
Пусть и . По определению интеграла Пуассона
Положим . Тогда будем иметь
и, в силу неравенства , , и периодичности ,
. (60)
Так как обе функции и положительны при и отрицательны при ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что , мы получим
. (61)
Для имеют место оценки
,
.
Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что
при , (62)
если . Пусть , тогда
.
В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции , ,
, (63)
где - постоянная, зависящая только от .
Теорема 7.
Пусть (), и
, .
Тогда и
. (64)
Доказательство.
Утверждение теоремы 7 в случае, когда , есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь . По теореме 6 , где , , если и . Из функции можно извлечь корень: существует функция такая, что , и, следовательно из (64) при р=2, получим
.
Оценка снизу для вытекает из (58).
Теорема 7 доказана.
Глава II. Атомические разложения функции
в пространстве , пространство ВМО.
§II.1.Пространство , критерий принадлежности функции из
пространству .
Рассмотрим () - пространство функций , являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства :
для п.в. , . (65)
Ранее мы доказали, что
, , (66)
и что - банахово пространство с нормой
; (67)
при этом, если в (65) , то
() . (68)