то есть матрицы K(x←x) и K(x←x) взаимообратны.

То есть доказано, что

K(x←x) = K(x←x),

то есть

K(x-x) = K(x-x).

16. 18 сентября 2010: Еще кой о чем вспомнил – вычисление матрицы Коши методами типа Рунге-Кутта.

Я сейчас ниже выскажу мысли, которые мне кажутся очевидными, но они приводятся без доказательства и они не проверялись вычислительными экспериментами – так что все в Ваших руках (можно проверить численно на компьютере и можно написать и опубликовать соответствующие статьи).

Итак. Матрица Коши K(x-x) вычисляется как матричная экспонента или по формуле Вольтерра (смотри выше). Я же считаю очевидным, что матрицу Коши можно вычислять и методами типа Рунге-Кутта и другими аналогичными численными методами, включая мой «геометрический» (неопробованный) численный метод, который приводится на картинке выше.

Матрица Коши K(x-x) обладает тем свойством, что ее значение при нулевом аргументе (x-x)=∆х=0 это есть единичная матрица K(0)=Е.

Тогда мне кажется очевидным, что вектора, составляющие матрицу Коши K(x-x) при НЕнулевом аргументе ∆х=(x-x)≠0 можно получить следующим путем: берем из единичной матрицы Е вертикальный вектор (столбец) с номером i и методом Рунге-Кутта от этого взятого начального значения (i-го столбца из единичной матрицы) вычисляем некий вектор-столбец на выбранном шаге интегрирования ∆х=(x-x)≠0 и записываем этот вектор-столбец в результирующую матрицу Коши на свое же i-ое место, то есть полученный вектор-столбец записываем в качестве i-го столбца результирующей матрицы Коши. И так формируем все столбцы вычисляемой (результирующей) матрицы Коши.

Например, для дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты матрица Коши имеет размерность 8х8, то есть состоит из 8 нужных нам столбцов размерности 8х1. И методами типа Рунге-Кутта мы вычисляем соответственно 8 столбцов матрицы Коши K(x-x) на выбранном шаге интегрирования ∆х=(x-x)≠0, беря в качестве начальных значений векторов-столбцов для метода Рунге-Кутта столбцы размерности 8х1 из единичной матрицы размерности 8х8.

Кстати, для этого случая круговой цилиндрической оболочки мы имеем систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и поэтому можем вычислить матрицу Коши однажды на одном маленьком интервале ∆х=(x-x)≠0, а на всем интервале задачи (1-0) получаем полную матрицу Коши перемножением самой на себя единожды вычисленной матрицы Коши малого участка: K(1-0)= K(∆х)∙ K(∆х)∙…∙ K(∆х), что очень сильно ускоряет вычисления по сравнению со случаями переменных коэффициентов (конус, сфера), так как при случае переменных коэффициентов приходится вычислять матрицы Коши K(x-x) независимо для каждого маленького отдельного шага (x-x) полного интервала интегрирования всей задачи с их аналогичным последующим перемножением.

То есть для случая постоянных коэффициентов системы дифференциальных уравнений не особенно важна скорость вычисления матрицы Коши K(∆х) одного отдельного малого участка ∆х, так как на малом участке матрица Коши K(∆х) вычисляется единожды, так как потом полученная матрица Коши малого участка перемножается сама на себя.

Тогда получается, что для вычисления матрицы Коши можно применять все известные численные методы, начиная с метода Рунге-Кутта и заканчивая моим предложенным выше и пока неопробованным «геометрическим» численным методом.

Скажу дополнительно, что касательно вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений у меня нет таких очевидных догадок, какие высказаны выше касательно матрицы Коши.

То есть я не догадываюсь как вычислять методами типа Рунге-Кутта векторY*(x←x):

Y*(x←x) = e∙e∙ F(t) dt -

вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Хотя вполне может оказаться, что все на самом деле просто и надо применять метод Рунге-Кутта к начальному полностью нулевому вектору, то есть вектору, состоящему полностью из нулей. Но это не факт. То есть мы так очевидно получим вариант частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, но не факт, что этот частный вектор будет удовлетворять формуле: