Содержание:

Стр. 3. 1. Введение.

Стр. 4. 2. Случай переменных коэффициентов.

Стр. 5. 3. Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы

дифференциальных уравнений.

Стр. 9. 4.1. Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку

интервала интегрирования.

Стр. 13. 4.2. Программа на С++ расчета цилиндрической оболочки

(постоянные коэффициенты системы ОДУ).

Стр. 26. 4.3. Программа на С++ расчета сферической оболочки

(переменные коэффициенты системы ОДУ).

Стр. 37. 5. Второй вариант метода «переноса краевых условий» в произвольную точку

интервала интегрирования.

Стр. 40. 6. Метод дополнительных краевых условий.

Стр. 45. 7. Формула для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.

Стр. 48. 8. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.

Стр. 49. 9. Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки

С.К.Годунова.

Стр. 50. 10. Метод половины констант.

Стр. 53. 11. Применяемые формулы ортонормирования.

Стр. 54. 12. Вывод формул, позаимствованный из «Теории матриц» Гантмахера.

Стр. 56. 13. Метод Вольтерра.

Стр. 56. 14. Метод для численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Стр. 58. 15. Насчет обратной матрицы.

Стр. 58. 16. Вычисление матрицы Коши методами типа Рунге-Кутта.

Стр. 61. 17. Об ускорении вычислений – применение «параллельных» вычислений.

Стр. 62. 18. Вычисление вектора частного решения неоднородной системы

дифференциальных уравнений.

Стр. 64. 19. Авторство.

Стр. 65. 20.1. Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования –

метод сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами –

метод д.ф.-м.н. Юрия Ивановича Виноградова и

к.ф.-м.н. Алексея Юрьевича Виноградова.

Стр. 66. 20.2. Программа на С++ расчета цилиндрической оболочки.

Стр. 75. 21. Случай переменных коэффициентов (ошибка).

Стр. 76. 22. 17 июля 2013: Исправление ошибок.

Стр. 76. 23. 19 июля 2013: Исправление исправленного.

1. Введение.

На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

Y(x) = A(x) ∙ Y(x) + F(x),

где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y(x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами

Краевые условия имеют вид:

U∙Y(0) = u,

V∙Y(1) = v,

где

Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,

Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:

Y(x) = e∙ Y(x) + e∙e∙ F(t) dt,

где

e= E + A(x-x) + A(x-x)/2! + A(x-x)/3! + …,

где E это единичная матрица.

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:

K(x←x) = K(x - x) = e.

Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ,

где Y*(x←x) = e∙e∙ F(t) dt это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

2. Случай переменных коэффициентов.

Этот вариант рассмотрения переменных коэффициентов проверялся в кандидатской диссертации.

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

e= e∙ e∙ … ∙ e∙ e,

K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x).