В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

K(x←x) = e, где ∆x= x- x.

3. Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Эта очень простая формула еще не обсчитана на компьютерах. Вместо неё обсчитывалась (а может быть и не обсчитывалась, не знаю) значительно ранее выведенная (выведенная моим отцом) и гораздо более сложная формула, приведенная в:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]: Y*(x←x) = e∙e∙ F(t) dt

предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования:

Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ∙K(x- t) ∙ F(t) dt .

Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:

Y*(x- x) = e∙e∙ F(t) dt ,

Y*(x- x) = e∙e∙ F(t) dt ,

Y*(x- x) = e∙ F(t) dt ,

Y*(x- x) = e∙ F(t) dt ,

Y*(x- x) = e∙ e∙ F(t) dt ,

Y*(x←x) = e∙e∙ F(t) dt,

что и требовалось подтвердить.

Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:

Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ∙K(x- t) ∙ F(t) dt =

= K(x- x) ∙(E + A(x- t) + A(x- t)/2! + … ) ∙ F(t) dt =