Краевые задачи. Методы решения А.Ю.Виноградова. Включая жесткие краевые задачиРефераты >> Математика >> Краевые задачи. Методы решения А.Ю.Виноградова. Включая жесткие краевые задачи
Y(0) = М∙с + ∙ .
8. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.
Этот алгоритм обсчитан на компьютерах в кандидатской диссертации.
Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий U до квадратной невырожденной:
Начальные значения Y(0), Y(0), Y(0),Y(0), Y*(0) находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:
∙ Y*(0) = ,
∙ Y(0) = , где i = , , , ,
где 0 – вектор из нулей размерности 4х1.
9. Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К.Годунова.
Эта замена формул Рунге-Кутта на формулу теории матриц обсчитана на компьютерах в кандидатской диссертации.
В методе С.К.Годунова как показано выше решение ищется в виде:
Y(x) = Y(x) ∙ c + Y*(x).
На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутта пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:
Y(x) = K(x- x) ∙Y(x).
Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор Y*(x) частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутта, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутта.
10. Метод половины констант.
Этот метод пока не обсчитан на компьютерах.
Выше было показано, что решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно искать в виде только с половиной возможных векторов и констант. Была приведена формула для начала вычислений:
Y(0) = М∙с + ∙ .
Из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:
Y(0) = М∙с + U∙u
или
Y(0) = U∙u+ М∙с
или
Y(0) = ∙ ,
Таким образом записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.
Далее запишем V∙Y(1) = v и Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) совместно:
V∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = v
V∙ K(1←0) ∙Y(0) = v - V∙Y*(1←0)
и подставим в эту формулу выражение для Y(0):
V∙ K(1←0) ∙∙ = v - V∙Y*(1←0).
V∙ K(1←0) ∙∙ = p.
Таким образом мы получили выражение вида:
D ∙ = p,
где матрица D имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4:
∙ = p.
Тогда можем записать:
D1∙ u+ D2 ∙ c = p.
Отсюда получаем, что:
c = D2∙ ( p - D1∙ u)
Таким образом, искомые константы найдены.
Далее показано как применять этот метод для решения «жестких» краевых задач.