Особенностью отрицания в символической логике является то, что двойное отрицание само себя нейтрализует. Так что всегда справедливо выражение:

-(-A) = A (1)

Знак эквивалентности говорит только о том, что выражения взаимозаменимы: высказывание с двумя отрицаниями равносильно тому же высказыванию без отрицания.

Конъюнкция. Следующее сложное высказывание, конъюнкция, представляет собой соединение двух и более высказываний с помощью союза "и". В языке этому соответствуют выражения, содержащие "и", "но", "также", "зато", "хотя" и т.д. Ее обозначение чаще всего такое: p /\ q; читается: p и q. Допустим, у нас имеется высказывание с союзом "и": "Поезд следует до Москвы и отходит через пятнадцать минут". Мы можем разбить его на две части, обозначив каждую часть соответственно буквами p и q: "Поезд следует до Москвы" (p) и "Поезд отходит через пятнадцать минут" (q). И тогда наше первоначальное высказывание может быть записано в виде приведенной формулы. Нам осталось только разобраться с колонкой для конъюнкции в таблице истинности.

В первой строке берется случай, когда оба простых высказывания истинны. Как это понимать? Предположим, нам передали вот эту самую информацию о поезде на Москву и времени его отправления. И если мы затем выясним, что и первая, и вторая части этого сообщения соответствуют действительности, то есть высказывания "Поезд следует до Москвы" и "Поезд отправляется через пятнадцать минут" оба истинны (p=1; q=1), то, очевидно, и всю информацию в целом мы тоже оценим как истинную. Это и отмечается в колонке для конъюнкции (первая строка) единицей. Теперь разберем другой вариант. Допустим, что истинным является только одно простое высказывание, скажем, второе, первое же ложно (p=0; q=1). То есть нам сказали, что поезд отходит на Москву через пятнадцать минут, но он отходит, хотя и в самом деле через пятнадцать минут, но не на Москву, как было сказано, а в каком-нибудь ином направлении. Как тогда будет оценено нами полученное сообщение в целом? Очевидно, оно вводит нас в заблуждение, и мы должны отнести его к разряду ложных. Этим объясняется цифра ноль во второй строке в колонке конъюнкции. Понятно, что при обратных значениях компонентов (p=1; q=0) будет тоже самое - в целом информация по-прежнему ложна. Наконец, когда оба простых высказывания являются ложными суждениями, то тем более все суммарное высказывание представляет собой обман.

Таким образом, конъюнкция является истинной только тогда, когда оба составляющих ее простых высказывания истинны, при всех же остальных значениях входящих в нее переменных она ложна.

Дизъюнкция (нестрогая). Этот логический оператор используется для отображения различного рода альтернатив. Ее символическая запись - p \/ q; читается: p или q. Чтобы разобраться с ее значениями по истинности в таблице 1, приведем какой-нибудь конкретный пример. Возьмем высказывание "Этот вопрос решается или через управляющего, или через его заместителя". В нем указывается на два возможных способа решить какой-то вопрос. Один из них задается высказыванием "Этот вопрос решается через управляющего" (обозначим его через p), другой - высказыванием "Этот вопрос решается через заместителя" (q). Попробуем перебрать все варианты, как это было с конъюнкцией.

Допустим, данную справку мы получили в каком-нибудь учреждении и после этого выяснили, что оба начальника в состоянии решить и решают такие вопросы. Стало быть, истинны как p, так и q (p=1; q=1). Как можно оценить истинность всего полученного указания? Вообще говоря, возможны случаи, когда такие высказывания вводят в заблуждение, если они означают, что только один из них компетентен заниматься данным делом, но не оба вместе. Но могут быть и такие обстоятельства, когда нам достаточно знать, где искать нужную инстанцию, остальное пока безразлично, и тогда то же самое указание при тех же значениях истинности простых суждений будет оценено как истинное. В символической логике предусмотрены оба варианта. Нестрогая дизъюнкция охватывает второй случай - при истинности обоих высказываний она является истинной. Поэтому в таблице истинности, в самой первой строке, где p=1; q=1, для нестрогой дизъюнкции указано значение 1. Когда же, далее, одно из простых суждений истинно (один из указанных руководителей занимается этим вопросом - причем все равно кто, - а другой не занимается) то, само собой понятно, у нас нет никаких оснований считать данную нам справку ложной: нам именно это и сказали, что обращаться надо к тому или другому. Стало быть, в колонке для нестрогой дизъюнкции и во второй, и в третьей строках (как и в первой) должна стоять 1. Ну, а когда оба простых высказывания ложны, то, очевидно, у нас есть причины считать, что нас просто обманули - все дизъюнктивное высказывание надо считать в этом случае, конечно, ложным.

Дизъюнкция (строгая). Этот логический оператор представляет собой то же, что и предыдущий, но относится к несоединимым альтернативам. Например: приговор был оправдательный либо обвинительный, студенту поставили "отлично" либо "хорошо". Во избежание путаницы мы будем пользоваться для нее словом "либо". У нас она будет записывается как p ¯ q; читается: p либо q. По истинностным значениям строгая дизъюнкция совпадает с нестрогой во всем за исключением первой строчки. У нее оба простых суждения не бывают одновременно истинными; если же при каких-то обстоятельствах это все же случается, то значит отнесение данной альтернативы к разряду строгих дизъюнкций ложно, что и отмечено цифрой 0 в первой строке колонки для строгой дизъюнкции.

Импликация. Она примерно соответствует тому, что в традиционной логике называют условными суждениями, выражаемыми с помощью логического союза "если, . то". Общепринятое обозначение - p => q; читается: p имплицирует (влечет, вызывает) q. Поскольку условная зависимость не является симметричной, то полезно условиться называть левую от стрелки часть формулы антецедентом, а правую - консеквентом. Надо сказать, в живых языках условные суждения применяются очень широко, и с их помощью предается чрезвычайно пестрое разнообразие в оттенках содержания и смысла предложений. Исчисление высказываний учитывает только наиболее типические, преобладающие черты условных связей.

Чтобы разобраться с картиной распределения значений истинности импликации в зависимости от разных наборов переменных, воспользуемся опять примером. Пусть нам дано предложение: "Если у Анны сегодня день рождения, то подарю ей розу". Здесь логический союз соединяет два высказывания: "Сегодня у Анны день рождения" (p) и "Подарю Анне сегодня розу"(q). Каждое из них может быть как истинным, так и ложным. Само собой понятно, что при истинности каждого из простых высказываний (у Анны, в самом деле, сегодня день рождения и обещание насчет розы тоже было выполнено) мы посчитаем все сделанное в условной форме заявление истинным: в первой строке колонки импликации (таблица 1) проставлена 1. Но как быть с оценкой такого обещания, когда первое суждение ложно (p=0), а роза, тем не менее, была подарена (q=1), то есть, подарена, несмотря на то, что никакого дня рождения Анна сегодня не отмечает? Можно ли считать это отступлением от своих слов? Если и да, то ведь отступление сделано в сторону превышения, оно не обмануло ожидания, наоборот, этим поступком верность данному слову подтверждается еще лучше, чем могла бы. Поэтому при такой комбинации значений переменных правильно будет считать импликативное высказывание истинным. Легко, далее, согласиться, что когда антецедент истинен (p=1), а консеквент ложен (q=0), то высказанное заявление надо признать ложным, ибо это означает, что в день рождения роза вовсе не была подарена. Что касается ситуации, когда день рождения еще не наступил (p=0) и роза пока не подарена (q=0), то при таких обстоятельствах у нас нет никаких оснований считать, что слова расходятся с делами, поэтому импликация в этом случае истинна.