Если число 64 делится на 3 и на 4, то оно делится на 12.

Число 64 не делится на 12.

Следовательно, число 64 не делится на 3 или на 4.

Это так называемая усложненная контрапозиция. При такой схеме рассуждения из высказываний, составляющих первые две строчки, с необходимостью вытекает третье (третья строчка). Мы могли бы взять и какие-то другие явления, связанные подобным же образом, например: если дует сильный ветер и падает снег, то значит на улице пурга; но пурги нет; следовательно, на улице не падает снег или нет ветра.

Умозаключение - это форма мышления, позволяющая из одного или нескольких суждений, называемых посылками, извлекать с помощью правил логики новое суждение - заключение.

Когда исходные высказывания в правильно построенном умозаключении истинны, то и вывод его тоже обязательно будет истинным суждением.

Понятия и суждения как формы мышления формируются большей частью за пределами логики, которая берет их уже готовыми. Умозаключение же формируется из суждений именно по логическим правилам.

На стадии умозаключения о вещах можно рассуждать, не обращаясь к ним самим. Достаточно иметь о них несколько верных высказываний. По этой причине, опираясь на правила умозаключения, наука получает возможность рассуждать о природных явлениях теоретически, постигать те их стороны, которые скрыты за внешней, доступной наблюдению поверхностью, проникать в недоступные природные глубины, обращаться мыслью в такие запредельные дали, которые можно изучать лишь умозрительно. Палеонтологам иной раз хватает одной кости для воссоздания всего облика давно вымерших животных. Сходные достижения имеются во всех других науках. Например, Демокрит догадался о существовании атомов, наблюдая, как истираются со временем каменные ступени храма. Много великих и малых тайн природы разгадано благодаря тонким и сложным рассуждениям. Цепь умозаключений выстраивается порой в целые обширные теории.

Всю совокупность известных логике умозаключений принято классифицировать по двум основаниям: во-первых, по числу посылок, во-вторых, по направлению движения мысли. Что касается числа посылок, то с этой точки зрения весь их массив распадается на две неравновесные части, те, у которых посылка всего одна, и остальные. Первые называются непосредственными умозаключениями. Они относятся к наиболее простым их разновидностям. В них происходит простая смена логической формы того или иного высказывания, содержание же остается неизменным. Помимо самой посылки в таком преобразовании участвуют также и логические законы мышления. Во вторых, опосредствованных, умозаключениях посылок более одной, они сложнее и многообразнее первых.

По другому основанию умозаключения делят на дедуктивные, в которых мышление движется от общих положений к частным выводам, индуктивные, делающие обобщения из частных наблюдений, и такие, у которых уровень общности посылок и заключения одинаков; к ним, прежде всего, относится аналогия и некоторые суждения с отношениями; иногда последнюю группу объединяют под названием традуктивные умозаключения.

§17. (1) Непосредственные умозаключения

Все умозаключения этого рода относятся к разряду дедуктивных. Часть из них уже рассматривалась нами, когда речь шла о логическом квадрате; возвращаться к ним нет необходимости. Помимо них есть еще четыре разновидности таких умозаключений - превращение, обращение, противопоставление предикату, противопоставление субъекту.

Превращение - логическая операция, изменяющая качество суждения без изменения его количества.

В художественных и научных текстах иногда прибегают к двойным отрицаниям: "Политика не может не первенствовать", "Ссора возникла не без причины". Подобные выражения встречаются порой в литературе. Чаще всего они представляют собой стилистический прием, подчеркивающий определенные оттенки смысла предложений. Но для логики важно только то, что в результате таких переформулирований меняется качество суждения, значит, меняется логическая форма: утвердительное по смыслу высказывание ("Политика иногда первенствует", "Ссора имеет причину") подается как отрицательное. Может быть и наоборот: отрицательное высказывание удобнее выразить в утвердительной форме (вместо "Линия не прямая" "Линия кривая", вместо "Договор не письменный", "Договор устный", вместо "Преступник не является совершеннолетним" "Преступник несовершеннолетний".

В рассуждениях нельзя путать логическую форму с содержанием, ведь одно может меняться, когда другое остается неизменным. Поэтому логика разрабатывает для преобразования качества суждений специальные правила. Они чрезвычайно просты. При превращении утвердительных суждений частица "не" вносится одновременно в связку и в предикат ("Яблоко зрелое" - "Яблоко не является незрелым"); можно было бы проделать то же самое и в обратном порядке. При превращении отрицательных суждений частица "не" переносится из связки в предикат ("Зима не является снежной" - "Зима бесснежная").

Операция превращения возможна для всех видов суждений - A, E, I, O. Схемы для этой операции и могут быть представлены следующим образом.

Общеутвердительное суждение: S a P => S e -P.

Общеотрицательное суждение: S e P => S a -P.

Частноутвердительное суждение: S i P => S o -P.

Частноотрицательное суждение: S o P => S i -P.

Черта над (перед) символом здесь и далее будет обозначать его отрицание; читается как не-P.

Обращение - операция перестановки субъекта суждения и предиката местами без изменения качества суждения.

Обращение, как правило, вызывает изменение количества суждения: частное становится общим, общее делается частным. Но иногда обходится без смены количественных характеристик. Тогда операцию обращения называют чистой или простой. Этот вид умозаключения возможен не для всех, а только для трех видов категорических суждений - A, E, I. Так как процедура обращения зависит от распределенности субъекта и предиката, то из-за этого для каждого вида суждений приходится разрабатывать свои правила.

Общеутвердительное суждение S a P при обращении, как правило, меняет количество, становится частным, поскольку предикат в нем чаще всего не распределен.

S a P => P i S.

Так из суждения "Все инспекторы таможни - государственные служащие" в результате обращения получится: "Некоторые государственные служащие - инспекторы таможни".

Однако у этого правила есть исключение. Оно относится к суждениям с обоими распределенными терминами, что в свою очередь имеет место тогда, когда они равнозначны. В этом случае изменения количества не происходит.

S a P => P a S.

Например, "Эверест - наивысшая точка Земли" ("Наивысшая точка Земли - Эверест"); "Кабинет министров - правительство" ("Правительство - кабинет министров)". Однако правилом надо все-таки считать, что обращение общеутвердительного суждения не является простым, то есть, приводит к суждению частноутвердительному; даже если в каких-то исключительных случаях правильно будет образовывать обращенное общеутвердительное суждение, все равно истинность и частноутвердительного тоже сохранится в силе. Если, следовательно, перед нами общеутвердительное суждение, то мы никогда не сделаем ошибки, если образуем из него обращенное частноутвердительное суждение.