mR1ÇR2(x,y) = mR1(x,y)Ù mR2(x,y)

.

Примеры:

1. Ниже изображены отношения: xR1y, означающее "модуль разности |y-x| близок к a", xR2y, означающее "модуль разности |y-x| близок к b", и их пересечение.

Алгебраическое произведение двух отношений.

Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается R1×R2 и определяется выражением:

mR1×R2(x,y) = mR1(x,y)× mR2(x,y)

Алгебраическая сумма двух отношений.

Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1R2 и определяется выражением: .

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

R1Ç(R2ÈR3) = (R1ÇR2 )È(R1ÇR3),

R1È(R2ÇR3) = (R1ÈR2)Ç(R1ÈR3),

R1×(R2ÈR3) = (R1×R2)È(R1×R3),

R1×(R2ÇR3) = (R1×R2)Ç(R1×R3),

R1(R2ÈR3) = (R1R2)È(R1R3),

R1(R2ÇR3) = (R1R2)Ç (R1R3).

Дополнение отношения.

Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией принадлежности:

(x,y) = 1 - mR(x,y)

.

Дизъюнктивная сумма двух отношений.

Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2 обозначается RÅR и определяется выражением:

R1ÅR2 = (R1Ç2)È(1ÇR2) .

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому.

Пусть R - нечеткое отношение с функцией принадлежности mR(x,y). Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением:

По договоренности принимают mR(x,y)=0 при mR(x,y) = 0,5.

Проекции нечеткого отношения.

Пусть R - нечеткое отношение R: (x,y)®[0,1]. Первой проекцией отношения R (проекция на X) называется нечеткое множество , заданное на множестве X, с функцией принадлежности:

.

Аналогично, второй проекцией (проекцией на Y) называется нечеткое множество , заданное на множестве Y, с функцией принадлежности:

.

Величина h(R) = называется глобальной проекцией отношения R. Если h(R)=1, то отношение R нормально, в противном случае - субнормально.

Пример:

Цилиндрические продолжения проекций нечеткого отношения

Проекции R1¢ и R2¢ нечеткого отношения XRY в свою очередь определяют в X´Y нечеткие отношения и с функциями принадлежности:

(x,y)=(x) при любом y, (x,y)=(y) при любом x,

называемые, соответственно, цилиндрическим продолжением R1' и цилиндрическим продолжением R2'.

Замечание. Очевидно, что для любых нечетких подмножеств А и В, определенных, соответственно, на X и Y, можно построить их цилиндрические продолжения А и В.

Пример (продолжение):

Имеем: