maA(x) = amA(x).

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A1, A2, , An - нечеткие множества универсального множества E, а w1, w2, ., wn - неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией A1, A2, , An называется нечеткое множество A с функцией принадлежности:

"xÎE mA(x1, x1, ., xn) = w1mA1(x) + w2mA2(x) + . + wnmAi(x).

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A1, A2, ., An - нечеткие подмножества универсальных множеств E1, E2, ., En соответственно. Декартово произведение A = A1´A2 ´ .´An является нечетким подмножеством множества E = E1´E2 ´ .´En с функцией принадлежности:

mA(x1, x1, ., xn) = min{ mA1(x1), mA2(x2) , . , mAi(xn) }.

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть A - нечеткое множество, E - универсальное множество и для всех xÎE определены нечеткие множества K(х). Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:

Ф(A, K) = mA (x)K(х),

где mA(x)K(х) - произведение числа на нечеткое множество. Пример:

E = {1,2,3,4};

A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;

K(1) = 1/1+0,4/2;

K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;

K(3) = 1/3+0,5/4;

K(4) = 1/4.

Тогда

Ф(A,K) = mA(1) K(1) ÈmA(2)K(2) ÈmA(3)K(3)ÈmA(4)K(4) =

= 0,8(1/1+0,4/2) È 0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =

= 0,8/1+0,6/2+0,24/3.

Четкое множество a-уровня (или уровня a). Множеством a-уровня нечеткого множества A универсального множества E называется четкое подмножество Aa универсального множества E, определяемое в виде:

Aa ={x/m A(x)³a}, где a£1.

Пример: A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4 ,

тогда A0.3 = {x3,x4},

A0.7 = {x4}.

Достаточно очевидное свойство: если a1 ³a2 , то Aa1£ Aa2 .

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:

A = aA a, где aAa - произведение числа a на множество A, и a "пробегает" область значений M функции принадлежности нечеткого множества A.

Пример: A = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 представимо в виде:

A = 0,1(1,0,1,1) È 0,7(0,0,1,1,) È 1(0,0,0,1)=

= (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4)È (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4)È

È(0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 +0/x2 +0,7/x3 +1/x4 .

Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций a1£ a2£ a3£ .£ an, то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в виде:

A = aiAai,

т.е. определяется совокупностью обычных множеств { Aa1, Aa2, ., Aai}, где Aa1 ³Aa2³ , ., ³Aai.

Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости

Пусть A и B - нечеткие подмножества универсального множества E. Введем понятие расстояния r(A, B) между нечеткими множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования:

r(A, B) ³ 0 - неотрицательность;

r(A, B) = r(B, A) - симметричность;

r(A, B) < r(A, C) + r(C, B).

К этим трем требованиям можно добавить четвертое: r(A, A) = 0.

Определим следующие расстояния по формулам:

Расстояние Хемминга (или линейное расстояние):

r(A, B) = ½mA(xi) - mB(xi)½ .

Очевидно, что r(A, B)Î[0, n].

Евклидово или квадратичное расстояние:

e(A, B) = , e(A, B)Î[0, ].

Относительное расстояние Хемминга:

r(A, B) = , r(A, B)Î[0,1].

Относительное евклидово расстояние:

e(A, B)=, e(A, B)Î[0,1].

Расстояние Хемминга и квадратичное расстояние, в случае когда E бесконечно, определяются аналогично с условием сходимости соответствующих сумм:

если E счетное, то

r(A, B) = ½mA(xi) - mB(xi)½ ,

e(A, B) = ;

если E = R (числовая ось), то

r(A, B) = ,

e(A, B) = .

Замечание. Здесь приведены два наиболее часто встречающихся определения понятия расстояния. Разумеется, для нечетких множеств можно ввести и другие определения понятия расстояния.

Перейдем к индексам нечеткости или показателям размытости нечетких множеств.

Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество A) лишь в частной мере, т.е.

0<mA(x)<1, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х в отношении R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством R", и классу объектов, "не обладающих свойством R". Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е. mA(x) = (x) = 0,5, и минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо mA(x) = 1 и (x) = 0, либо mA(x) = 0 и (x) = 1.